| digiさん,新年明けましておめでとうございます.
> 曲面とx,y,z平面で囲まれる部分の体積を求めたいのですが。 > > まず、積分領域はz=0として、とx軸、y軸で囲まれる部分でいいでしょうか?それから、曲面の式をzについての式に変形してそれを累次積分すれば求まりますよね? > > これでやるとかなり面倒なのですが、ほかにやりかたはないでしょうか?
えぇ〜と要するに,次の連立不等式で表される領域の体積を求めればよいわけです.
そこで,領域を平面(ただし,)で切った時の切り口を考えると,その関係式は,
であるから,切り口の面積は,
あとは,これをからまで積分すればよく,求める体積は,
被積分関数を展開するのが面倒くさいので,と置換すると,
であり,積分区間は,のとき,だから,
ってな感じです.
PS.そぉ〜いえば,この問題を解いてて,昔の駿台の東大実戦模試に,これをちょっと難しくした問題が出てたのを思い出しました...
【昔の駿台の東大実戦の問題】------------------------------ 空間内に,次の不等式
で表される領域がある.領域の体積を求めよ. ---------------------------------------------------------- 正月のお年玉(?)として,プレゼントしますので,是非演習してみて下さい.
|