![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | tomoさん,こんばんわ.
> 曲線y=x^2……@上の点A(1)[1,1]における接線とx軸との交点をB(1),B(1)を通ってx軸に垂直な直線を引き、これと@との交点をA(2)とする。@上の点A(2)における接線とx軸との交点をB(2),B(2)を通るx軸に垂直な直線と@との交点をA(3)という具合にこの操作を続ける。 > [1]点A(n)、B(n)の座標を求めよ。
え〜と, の 座標を としましょう. すると, ……@より, であるから,@上の点 での接線の方程式は
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y-a_{n}^{2}%20=%202a_{n}(x-a_{n})
%5cLongleftrightarrow%20y%20=%202a_{n}x%20-%20a_{n}^{2}
) であるから,この式で とおくことにより,
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2a_{n}x%20-%20a_{n}^{2}%20=%200%20%5cLongleftrightarrow%20x%20=%20%5cfrac{a_{n}}{2}
) つまり, の 座標は
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b_{n}%20=%20%5cfrac{a_{n}}{2}
) であるから,
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a_{n+1}%20=%20%5cfrac{1}{2}a_{n},%5cquad%20a_{1}%20=%201
) よって, は初項 ,公比 の等比数列であるから,
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a_{n}%20=%20%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{n-1}
) また,
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b_{n}%20=%20%5cfrac{1}{2}a_{n}%20=%20%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{n-2}
)
> [2]点A(n)を通りy軸に平行な直線と点A(n+1)を通りx軸に平行な直線との交点をC(n)とするとき、曲線@の点A(n)からA(n+1)までの部分と2線分A(n)C(n)、A(n+1)C(n)で囲まれた部分の面積S(n)を求めよ。
から 軸に下ろした垂線の足を とすると,
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S_{n}%20=%20%5cdisplaystyle%5cint_{a_{n+1}}^{a_{n}}x^{2}dx%20-%20H_{n}H_{n+1}A_{n+1}A_{n}%20%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{(1/2)^{n}}^{(1/2)^{n-1}}x^{2}dx%20-%20%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{2n}%5ctimes%20%5cleft(%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{n-1}-%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{n}%5cright)%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{3}x^{3}]_{(1/2)^{n}}^{(1/2)^{n-1}}-%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{3n}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}%5cleft(%5cfrac{1}{2}%5cright)^{3n-2}
)
ってな感じかと思います.
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