■20720 / inTopicNo.1) |
Re[1]: 早稲田の過去問です
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□投稿者/ ウルトラマン 付き人(68回)-(2007/01/07(Sun) 00:22:38)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | ■No20716に返信(yesterdayさんの記事) > 自然数nに対してa(n)=∫[1→e]x^2*(logx)^n dxとおく。 > 1)1≦x≦eのときlogx≦x/eを示せ。
これは,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
f(x)%20=%20%5cfrac{x}{e}-%5clog%20%20%20x
) とおくと,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
f'(x)%20=%20%5cfrac{1}{e}-%5cfrac{1}{x}
) より, のとき, であるから, は, の範囲で単調減少.よって,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
f(x)%20%5c%5c
%5cgeq%20f(e)%20
=%20%5cfrac{e}{e}-%5clog%20%20%20e%20%5c%5c
=%200%20%5c%5c
) つまり,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5cfrac{x}{e}-%5clog%20%20%20x%20%5cgeq%200%20%5c%5c
%5cLongleftrightarrow%20%5clog%20%20%20x%5cleq%20%5cfrac{x}{e}
)
> 2)lim[n→∞]a(n)の値を求めよ。
(1)の結果より,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
a_{n}%20=%20%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}x^{2}(%5clog%20%20%20x)^{n}dx%20%5c%5c
%5cleq%20%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}x^{2}%5cleft(%5cfrac{x}{e}%5cright)^{n}dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cfrac{x^{n+2}}{e^{n+2}}%20dx%20%5c%5c
=[%5cfrac{1}{(n+3)e^{n+2}}x^{n+3}]_{1}^{e}%20%5c%5c
=%5cfrac{e^{n+3}-1}{{(n+3)e^{n+2}}%20%5c%5c
=%5cfrac{e}{n+3}-%5cfrac{1}{{(n+3)e^{n+2}}
) であり,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5clim_{n%5cto%5cinfty}%5cleft(%5cfrac{e}{n+3}-%5cfrac{1}{(n+3)e^{n+2}}%5cright)%20=%200
) であるから,はさみうちの原理より,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
%5clim_{n%5cto%5cinfty}%20a_{n}%20=%200
)
> 3)lim[n→∞]na(n)の値を求めよ。 > > 誰か助けて下さい。早稲田の教育学部の過去問です。
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