■21211 / inTopicNo.1) |
Re[1]: 漸化式
|
□投稿者/ ウルトラマン 軍団(130回)-(2007/01/22(Mon) 13:52:30)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | ゴンタさん,こんばんわ.
> a(n)=∫[1→e]x^2*(logx)^2 dx (n=1,2,…)とおく。 > 漸化式a(n)を求めよ。 > > > 帰納法を使えばいいのでしょうか?どなたか教えてください。 >
えぇ〜と,
![](http://www.crossroad.jp/cgi-bin/mimetex.cgi?2$
a_{n}%20=%20%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}x^{2}(%5clog%20%20%20x)^{2}%20dx%20%5c%5c
=%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cleft(%5cfrac{1}{3}x^{3}%5cright)'(%5clog%20%20%20x)^{2}dx%20%5c%5c
=[%5cleft(%5cfrac{1}{3}x^{3}%5cright)(%5clog%20%20%20x)^{2}]_{1}^{e}-%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cleft(%5cfrac{1}{3}x^{3}%5cright)2%5clog%20%20%20x%5ccdot%20%5cfrac{1}{x}dx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}e^{3}-%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cfrac{2}{3}x^{2}%5clog%20%20%20xdx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}e^{3}-%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cleft(%5cfrac{2}{9}x^{3}%5cright)'%5clog%20%20%20xdx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}e^{3}-[%5cleft(%5cfrac{2}{9}x^{3}%5cright)%5clog%20%20%20x]_{1}^{e}+%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cfrac{2}{9}x^{3}%5ccdot%20%5cfrac{1}{x}dx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{3}e^{3}-%5cfrac{2}{9}e^{3}+%5cdisplaystyle%5cint_{1}^{e}%5cfrac{2}{9}x^{2}dx%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{9}e^{3}+[%5cfrac{2}{27}x^{3}]_{1}^{e}%20%5c%5c
=%5cfrac{1}{9}e^{3}+%5cfrac{2}{27}e^{3}-%5cfrac{2}{27}%20%5c%5c
=%5cfrac{5}{27}e^{3}-%5cfrac{2}{27}
)
以上に示したとおり,漸化式を作るも何も, 「右辺が を含まない定積分」 となっているため,定積分の値が求まってしまいます.
問題を書き間違ってませんか?
|
|