| 2005/09/13(Tue) 02:14:39 編集(投稿者) 2005/09/13(Tue) 00:45:48 編集(投稿者)
修正したのを再掲。
1-2cosx=0 はf(x)=0を満足しないので、これで割って、 n=xsinx/(2cosx-1)=g(x)とおく。 g’(x)=(sinx(2cosx-1)+x(2-cosx))/(2cosx-1)^2 ここで、0<x<π/3では明らかにg’(x)>0 また、π/3<x<π/2ではsin(2cosx-1)<0であるが、 |sinx(2cosx-1)|<1・1<π/3・1<x(2-cosx) よってg’(x)>0 つまり0<x<π/2でg(x)は単調増加であるが、 g(0)=0 g(x)→∞(x→π/3-0) g(x)→-∞(x→π/3+0) g(π/2)=-π/2 従って、n>0であれば、x[n]は必ず1個存在し、 x[n]→α=π/3 (n→∞)である。
n(x[n]-α)=x[n]sinx[n]/(2cosx[n]-1)・(x[n]-π/4) ここで、n→∞の時、x[n]→π/3となるが、 x[n]sinx[n]→π/3・√3/2 (x[n]-π/4)/(2cosx[n]-1)→1/(2cos’(π/3))=-1/√3 よって、n(x[n]-α)→π/3・√3/2・(-1/√3)=-π/6
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