| より具体的に g(k)=10^k-1 とすれば f(g(k))=k となりますのでいろいろ求めてみると f(g(2)) と f(g(3)) → 54 f(g(2)) と f(g(5)) → 90 f(g(3)) と f(g(5)) → 135 f(g(2)) と f(g(7)) → 126 f(g(3)) と f(g(7)) → 189 f(g(5)) と f(g(7)) → 315 常に9mnになるようですので、最大値は 9mn ということになりそうです。
f(k)では単位分数だけしか考察できませんので、有理数xの循環節の長さをc(x)として c(1/99)=2, c(1/999)=3, c(1/(99*999))=54 c(2/99)=2, c(1/999)=3, c(2/(99*999))=54 c(3/99)=2, c(1/999)=3, c(3/(99*999))=18 c(9/99)=2, c(1/999)=3, c(9/(99*999))=6 c(11/99)=2, c(1/999)=3, c(11/(99*999))=27 c(11/99)=2, c(9/999)=3, c(99/(99*999))=c(1/999)=3 c(27/99)=2, c(37/999)=3, c((27*37)/(99*999))=c(1/99)=2 c(999/99)=2, c(99/999)=3, c((999*99)/(99*999))=c(1)=1
(非循環小数は0または9の循環と考えて)最小値は明らかに1ですね。
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