 | (x^(2n+1) + 1)/(x + 1)
= x^2n - x^(2n-1) + x^(2n-2) + ･･･ - x + 1 ･･･ (1)
1. n = 0 のとき (x^(2×0 + 1) + 1)/(x + 1) = 1 より
(1) が成り立つ。
2. (1) が成立するような任意の n に対して
x^(2(n+1)) - x^(2n+1) + x^2n - x^(2n-1) + x^(2n-2) + ･･･ - x + 1
= x^(2(n+1)) - x^(2n+1) + (x^(2n+1) + 1)/(x + 1)
= { x^(2n+1)(x - 1)(x + 1) + x^(2n+1) + 1 } / (x + 1)
= { x^(2(n+1)+1) + 1 } / (x + 1)
が成立する。つまり、(1) において n を n+1 に置き換えた
等式が成立する。
よって、任意の n に対して (1) が成り立つ。
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