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■22836
/ inTopicNo.1)
不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(22回)-(2007/03/13(Tue) 11:59:11)
nを2以上の自然数とするとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
1/√2 ≦∫(上端1/√2,下端0)1/√(1-x^n)dx ≦π/4
という問題です。
どなたかお願いします。
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■22838
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ ゼロ
付き人(83回)-(2007/03/13(Tue) 12:06:34)
2007/03/13(Tue) 12:07:35 編集(投稿者)
1≦1/√(1-x^n)
を両辺0から1/√2まで積分することで、最初の不等号が得られます。
次にx<1において、x^n≦x^2<1を用いると、1/√(1-x^n)≦1/√(1-x^2)
この両辺を0から1/√2まで積分し、
∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
を用いると、第2の不等式を得ます。
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■22839
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(23回)-(2007/03/13(Tue) 12:10:37)
∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
上記の部分がよく分からないので、説明お願いできますか;
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■22845
/ inTopicNo.4)
Re[1]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ X
付き人(82回)-(2007/03/13(Tue) 13:42:42)
横から失礼します。
分からないようならx=sintと置いて置換積分しましょう。
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■22848
/ inTopicNo.5)
Re[2]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(24回)-(2007/03/13(Tue) 13:49:03)
分からないというのは
∫_{0〜1/√2}dx/√(1-x^2)=Arcsinx_{0〜1/√2}=π/4
の
∫_ の部分の_と
0〜1/√2の0〜というのと
ArcsinxのArcというのが分からないんです。
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■22850
/ inTopicNo.6)
Re[3]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ ゼロ
付き人(84回)-(2007/03/13(Tue) 13:56:02)
∫_{0〜1/√2}dx
は0から1/√2までの定積分と言う意味で書きました。
Arcsinはsinの逆関数です。
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■22852
/ inTopicNo.7)
Re[4]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(25回)-(2007/03/13(Tue) 14:03:53)
その逆関数はまだ習ってなくて分かりませんでした;
このやり方の他に証明ってすることはできますか?
自分でやってみてるんですが、最後までいかないんです・・・
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■22853
/ inTopicNo.8)
Re[5]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ ゼロ
付き人(86回)-(2007/03/13(Tue) 14:12:20)
Xさんの書かれたとおりです。
x=sintと置いて、置換積分してみて下さい。
1/√(1-x^2)=1/cost
dx=costdtとなるのでdx/√(1-x^2)=dtです。
x:0→1/√2 に対し、t:0→π/4です。
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■22854
/ inTopicNo.9)
Re[6]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(26回)-(2007/03/13(Tue) 14:17:42)
x=sintと置くのは、問題文にある不等式のxですか?
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■22855
/ inTopicNo.10)
Re[7]: 不等式の証明の問題
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□投稿者/ pon
一般人(27回)-(2007/03/13(Tue) 16:13:49)
どなたかいませんか?
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