| 2007/04/25(Wed) 16:09:30 編集(投稿者)
0<fn(p)<ε+(1-ε)/(1+nε^p) (A) から lim[n→∞]fn(p)=0 を示すには,(A)にはさみうちの原理を用いればよいだけです。 (A)の証明が分からないと解釈して、以下にその証明を書いておきます。
0<x<1 (A) において 0<1/(1+nx^p) (B) ∴∫[0→1]0dx<∫[0→1]dx/(1+nx^p) ∴0<∫[0→1]dx/(1+nx^p) (C) 一方、p>0ゆえ y=1/(1+nx^p) (D) は(A)において単調減少ですので 曲線(D)とx,y軸,直線x=1で囲まれた領域の面積をS1 0<ε<1なるεに対して 4点(0,0),(0,1),(ε,1),(ε,0) を頂点に持つ長方形と 4点(ε,0),(ε,1/(1+nε^p)),(1,1/(1+nε^p)),(1,0) を頂点に持つ長方形の面積の和をS2とすると S2>S1 (E) S1=∫[0→1]dx/(1+nx^p) (F) S2=ε+(1-ε)/(1+nε^p) (G) (E)(F)(G)より ∫[0→1]dx/(1+nx^p)<ε+(1-ε)/(1+nε^p) (H) (C)(H)より(A)は成立します。
|