数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 不等式 / Page: 0]

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■24709 / inTopicNo.1)

　不等式

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□投稿者/ たけし一般人(1回)-(2007/05/09(Wed) 11:02:09)

Xを正の実数，nを正の整数とする。
この時，2≦X＾n＋1／X＾n≦X＾n＋1＋1／X＾n＋1が成り立つことをしめせ。
宜しくお願いしますm(__)m

(携帯)

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■24713 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 不等式

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□投稿者/ らすかる大御所(674回)-(2007/05/09(Wed) 11:33:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

相加相乗平均により
X^n+1/X^n≧2√{(X^n)(1/X^n)}=2
右辺は素直に読むと (X^n) + 1 + (1/X^n) + 1 となり、
この場合は X^n+1/X^n より大きいのは自明
もし X^(n+1) + 1/X^(n+1) という意味で書いたのなら、
{X^(n+1)+1/X^(n+1)}-{X^n+1/X^n}
={X^n-1/X^(n+1)}(X-1)
={1/X^(n+1)}{X^(2n+1)-1}(X-1)
={1/X^(n+1)}(X-1)^2{X^(2n)+X^(2n-1)+…+1}≧0 から
X^(n+1)+1/X^(n+1)≧X^n+1/X^n

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■24714 / inTopicNo.3)

　不等式

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□投稿者/ たけし一般人(2回)-(2007/05/09(Wed) 11:40:43)

右辺を素直にみるとはどういうことですか？

(携帯)

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■24715 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 不等式

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□投稿者/ らすかる大御所(675回)-(2007/05/09(Wed) 11:46:42)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

四則及びべき乗の演算子の優先順位は、普通
　加減算が優先順位最低
　乗除算は加減算より優先
　べき乗は最優先
です。
したがって X^n+1+1/X^n+1 という式を素直に解釈すると
　X^n と 1 と 1/X^n と 1 を加算したもの
という意味になりますので、素直に読んだ場合は明らかに
　X^n + 1/X^n ＜ X^n + 1 + 1/X^n + 1
です（右辺の方が2大きいだけです）。

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■24716 / inTopicNo.5)

　不等式

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□投稿者/ たけし一般人(3回)-(2007/05/09(Wed) 11:54:31)

すいませんが
一番さいごのほうにある
1／X＾(n＋1)でくくりだしたあとの次の＝のあとがわかんないのですが教えていただけますか？

(携帯)

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■24717 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 不等式

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□投稿者/ らすかる大御所(676回)-(2007/05/09(Wed) 12:05:21)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
などと同様に
X^(2n+1)-1=(X-1){X^(2n)+X^(2n-1)+…+1}
のように変形できますので、
{1/X^(n+1)}{X^(2n+1)-1}(X-1)
={1/X^(n+1)}(X-1)^2{X^(2n)+X^(2n-1)+…+1}
となりますね。

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■24718 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 不等式

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□投稿者/ らすかる大御所(677回)-(2007/05/09(Wed) 12:09:15)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

ちなみに、変形して0以上を示した方が
解答が少しきれいになるかと思ってそのようにしましたが、
変形しなくても場合分けすれば示せます。
{X^n-1/X^(n+1)}(X-1) は
X≧1 のとき X^n≧1≧1/X^(n+1) なので {X^n-1/X^(n+1)}(X-1)≧0
X＜1 のとき X^n＜1＜1/X^(n+1) なので {X^n-1/X^(n+1)}(X-1)＞0
合わせて
{X^n-1/X^(n+1)}(X-1)≧0
となりますね。

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■24719 / inTopicNo.8)

　不等式

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□投稿者/ たけし一般人(4回)-(2007/05/09(Wed) 12:09:40)

ありがとうございましたm(__)m

(携帯)

解決済み!

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