| 2007/09/03(Mon) 08:38:31 編集(投稿者)
■No27665に返信(Xさんの記事) > t=log[10]x > と置いた後の不等式 > t^3+3t^2-(4+a)t+a<0 > を > (t-1)(t^2+4t-a)<0 > と変形して (続き) 真数 x>0 で整数解より、x=1,2,3,4,… すなわち x≧1 と考えると、t=log[10]x≧0 としてよい。 f(t)=(t-1)(t^2+4t-a)、g(t)=t^2+4t-a とおく。 g(t)=0 の判別式 D/4=4+a について D/4≦0(a≦-4)のとき g(t)≧0 より f(t)<0 は t-1<0 すなわち t<1 よって 0≦t(=log[10]x)<1 で、これを満たす整数値 x は9個より、不適。 D/4>0(a>-4)のとき g(t)=0 は異なる2実数解を持つ。 その2解をα,β(α<β)とおくと、α+β=-4 …@、β=-2+√(4+a)。 また f(t)=(x-1)(x-α)(x-β) で@より(α負β負 または α負β正) 1) α<β<0<1 のとき、f(t)<0 の解は 0≦t<1 これを満たす整数値 x は9個より、不適。 2) α<0<β<1 のとき、f(t)<0 の解は β<t<1 これを満たす整数値 x が高々3個(x=7,8,9)のとき log[10]6≦β<1 すなわち、0.78≦-2+√(4+a)<1 , 2.78≦√(4+a)<3 , これを満たす整数 a は a=4。 3) α<0<β=1 のとき、f(t)<0 は解なしより、題意に適する。 すなわち、-2+√(4+a)=1 , a=5。 4) α<0<1<β のとき、f(t)<0 の解は 1<t<β これを満たす整数値 x が高々3個(x=11,12,13)のとき 1<β≦log[10]14 すなわち、1<-2+√(4+a)≦1.15 , 3<√(4+a)≦3.15 , これを満たす整数 a は存在しない。 以上より、a=4,5。
>増減表をかいてグラフからaの値を求めることはできるのでしょうか? この問題ではt軸との交点が必要になるので、微分→極値とするのは適切ではありません。
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