| 2008/01/08(Tue) 18:34:53 編集(投稿者)
二問目)(別解) x+y+z=6 (A) とします。
解法その1)(コーシー・シュワルツの不等式を使う) コーシー・シュワルツの不等式により (1^2+1^2+1^2)(x^2+y^2+z^2)≧(1・x+1・y+1・z)^2 (等号成立はx:y:z=1:1:1のとき) つまり 3(x^2+y^2+z^2)≧(x+y+z)^2 (D) (等号成立はx=y=zのとき) (A)を(D)に代入すると 3(x^2+y^2+z^2)≧36 (等号成立はx=y=zかつ(A)のとき) ∴x^2+y^2+z^2≧12 (等号成立はx=y=z=2のとき) よって求める最小値は12(このときx=y=z=2) となります。
解法その2)(空間図形的な解法 ・三次元の空間ベクトルを学習されてなければ無視して下さい) (A)は平面の方程式であり、又 x^2+y^2+z^2 (B) とは原点と点(x,y,z)との間の距離の二乗を表します。 従って(B)の最小値は(A)と原点との間の距離の二乗に等しくなりますので 求める最小値をmとすると点と平面との間の距離の公式により、 m={|0+0+0-6|/√(1^2+1^2+1^2)}^2=12 このときの(x,y,z)の値は原点を通り(A)に垂直な直線(nとします)と(A) との交点の座標の値になります。 ここで(A)の法線ベクトルは(1,1,1)ですのでnの方程式は x=y=z (C) (A)(C)を連立して解き、(B)が最小のときのx,y,zの値は x=y=z=2 となります。
>>miyupさんへ zを消去した式の平方完成の計算を間違えていませんか?
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