 | 2008/02/05(Tue) 13:09:55 編集(投稿者)
e>0であることは示せたとします(ご自分でトライしてみて下さい)
p,q∈N, (p,q)=1に対し、e=q/pと表せたとします。
0<a[n]<e
より、
1+1/1!+1/2!+…+1/(p+1)!< e <1+1/1!+1/2!+…+1/n!+e/n!
p!をかけ、Z≡p!(1+1/1!+・・・・・1/p!)と定義すると、Z∈Nとなり、
Z+1/(1+p)< q <Z+1/(p+1)[1+1/(p+2)+・・・・・+1/n!]+q(p-1)!/n!
1+1/(p+2)+・・・・・+1/n! < 1+1/(p+1)+1/(p+1)^2+・・・・・=(p+1)/p
を利用すると、
Z+1/(1+p)< q <Z+1/p+q(p-1)!/n!
nは任意なので、適当に大きく取れば
Z+1/(1+p)< q ≦Z+1/p
p,Z∈Nであることを思い出すと、これはq∈Nに反します。
よって矛盾し、eが無理数であることが導かれました。
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