| ■No31682に返信(moidiさんの記事) > xy平面状の1点をF(2,0)とする。任意の点P(x,y)からy軸におろした垂線の足をHとする。定数a(0<a<1)に対して、Pが条件PF=a・PHを満たすとする。 > (1) 点Pが描く曲線Cの方程式を求めよ。 楕円 (1-a^2)x^2-4x+4+y^2=0 …@ 変形すれば、(1-a^2)^2/(4a^2)・(x-2/(1-a^2))^2+(1-a^2)/(4a^2)・y^2=1 …@' > (2) 曲線C上の点Pにおける接線が原点Oを通るとき、Pのx座標をもとめよ。 @をxで微分 y'=1/y・{2-(1-a^2)x} …A 接点を(s,t)とおけば、(1-a^2)s^2-4s+4+t^2=0 …B で 接線は、y=1/t・{2-(1-a^2)s}(x-s)+t。 (0,0)およびBを代入して、s=2 すなわち 点Pのx座標は 2 > (3) 第1象限にある曲線C上の点Pに対して、台形OFPHの面積をSとするとき、SをPの座標(x,y)で表し、y・dS/dxを求めよ。 S=1/2・(x+2)y。 dS/dx=1/2・{y+(x+2)y'} @A代入 y・dS/dx=1/2・{y^2+(x+2){2-(1-a^2)x}}=-(1-a^2)x^2+(2+a^2)x > (4)面積Sが最大となる曲線C上の第1象限にある点Pのx座標を求めよ。 点Pは第1象限より x>0、y>0 で @'より、0<2(1-a)/(1-a^2)<x<2(1+a)/(1-a^2)。 dS/dx=0 のとき x=0,(2+a^2)/(1-a^2) 増減表より S最大の時、x=(2+a^2)/(1-a^2)
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