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　サイクロイドの回転体

□投稿者/ 考える人一般人(43回)-(2007/08/06(Mon) 19:50:03)

問題

媒介変数 $2$ \theta$ で表されたサイクロイド
　　 $2$x=\alpha (\theta -\sin \theta ), y=\alpha (\theta -\cos \theta )\quad \quad (0\leq \theta \leq 2 \pi )$ と $2$x$ 軸とで囲まれた図形を、 $2$y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。ただし $2$a$ は正の整数とする。

まず
　　 $2$y$ 軸に垂直な直線とサイクロイドの交点を左から $2$(x_1,y), (x_2,y)$ とする。
$2$y$ から $2$y+\Delta$ までの部分を $2$y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積 $2$\Delta V$ は
　 $2$\Delta V=\left( \pi {x_2}^2- \pi {x_1}^2 \right) \Delta y =\pi(x_2+x_1)(x_2-x_1)\Delta y =2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y$
と表され
$2$(x_2-x_1)\Delta y$ は $2$y$ から $2$y+\Delta$ の部分の面積である。

これより
サイクロイドと $2$x$ 軸とが囲む部分の面積を $2$S$ とすると
どうして

　　　 $2$V=2\pi^2 aS$ と表すことができるのでしょうか？
教えてください。お願いします。

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Edit By 数学ナビゲーター