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■27158 / )

　Re[1]: サイクロイドの回転体

□投稿者/ miyup 大御所(1381回)-(2007/08/06(Mon) 20:25:28)

2007/08/09(Thu) 01:23:00 編集(投稿者)
2007/08/06(Mon) 20:30:47 編集(投稿者)

■No27156に返信(考える人さんの記事)
> まず
> 　　 $2$y$ 軸に垂直な直線とサイクロイドの交点を左から $2$(x_1,y), (x_2,y)$ とする。
> $2$y$ から $2$y+\Delta y$ までの部分を $2$y$ 軸まわりに回転してできる立体の体積 $2$\Delta V$ は
> 　 $2$\Delta V=\left( \pi {x_2}^2- \pi {x_1}^2 \right) \Delta y =\pi(x_2+x_1)(x_2-x_1)\Delta y =2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y$
> と表され
> $2$(x_2-x_1)\Delta y$ は $2$y$ から $2$y+\Delta y$ の部分の面積である。
>
> これより
> サイクロイドと $2$x$ 軸とが囲む部分の面積を $2$S$ とすると
> どうして
> 　　　 $2$V=2\pi^2 aS$ と表すことができるのでしょうか？

以下厳密性に欠ける記述ですが（本来は $2$\lim \sum$ で表現すべきもの）
$2$V=\displaystyle\int_0^{2a} \Delta V dy=\displaystyle\int_0^{2a} 2\pi^2 a(x_2-x_1)\Delta y dy=2\pi^2 a \displaystyle\int_0^{2a} (x_2-x_1)\Delta y dy$
で
$2$(x_2-x_1)\Delta y=\Delta S$ （サイクロイドとｘ軸で囲む図形をｘ軸に平行にスライスしてできる長方形？の面積）
より
$2$\displaystyle\int_0^{2a} (x_2-x_1)\Delta y dy=\displaystyle\int_0^{2a} \Delta S dy=S$
と考えてはどうでしょう。

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