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Re[4]: サイクロイドの回転体
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□投稿者/ 豆 一般人(24回)-(2007/08/07(Tue) 10:25:57)
 | 2007/08/07(Tue) 10:27:20 編集(投稿者)
横からです。
一般に面積Sを持つ領域が、その領域に入らない軸の周りに
回転するときに出来る体積に関してはパップスギュルダンの定理というのがあります。
微小面積dSが回転軸からの距離rで回転するとき、出来る微小体積は
dV=2πrdSなので、V=2π∫rdS
一方、面密度が一定であれば、軸に垂直方向の重心をr[G]とすれば、重心の定義から、
r[G]S=∫rdSなので、V=2πr[G]Sとなります。
この場合はサイクロイドで(y=a(1-cosθ)の記載ミスですね)、θ=πつまりx=πaに関して、
左右対称形なので、r[G]=πa
従って、V=2π・πaS=2π^2aS
軸からa離れた半径rの円(r＜a)が回転する場合に出来るドーナツ状の体積は
V=2πa・πr^2=2π^2ar^2 など役に立つ定理ですね。
（受験でダイレクトの引用に関しては責任がもてませんが・・・）
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