 | 任意の自然数nは4つ以下の平方数の和になります。(ラグランジュの四平方定理)
また4つの平方数の和に表される数同士の積もまた4つの平方数の和に表されます。(オイラーの恒等式?)
Zを整数全体の集合とし、Nを自然数全体の集合とします。
A = {x|(x ∈ N)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(x = a^2+b^2+c^2+d^2)}という集合を考えると
A = Nということになります。
k ∈ N, A(k) = {x|(x ∈ N)∧(∃a,b,c,d ∈ Z)∧(x = a^2+b^2+kc^2+kd^2)}とすると、
x, y ∈ A(k)ならばxy ∈ A(k)であることは容易に示せます。(オイラーの恒等式?とほぼ同じです。)
ラグランジュの四平方定理より任意の自然数nは、a,b,c,dを整数として、
n = a^2+b^2+c^2+d^2
と表されます。
a,b,c,dが2を法として全て異なるということはないので、c ≡ d (mod 2)としても一般性を失いません。
c = u+v, d = u-vとなる整数u, vが存在し、
n = a^2+b^2+(u+v)^2+(u-v)^2 = a^2+b^2+2u^2+2v^2
と表すこともできます。すなわち、A(2) = Nです。
k ≧ 4の場合、3はA(k)に属さないので、N ≠ A(k)です。
A(3) = Nと予想していますが、うまく証明はできていません。
証明方法のヒントまたは反例をご存知の方はご教示ください。
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