| ■No38223に返信(kaeruさんの記事) f(x)=2x/(x^2+1) として解きます。 (1) f(x)=(2/x)/(1+1/x^2)として、lim[x→∞]f(x)=lim[x→-∞]f(x)=0 f'(x)=-2(x+1)(x-1)/(x^2+1)^2 より、極値はf(-1)=-1、f(1)=1 (2) 直線と曲線の交点は、2x/(x^2+1)=2^(-n) より x=2^n±√{4^n-1} 2解のうち小さい方をα、大きい方をβとおく。 S[n] =∫[α→β] {f(x)-2^(-n)}dx =[log(x^2+1)-x/(2^n)][α→β] x^2+1={2^(n+1)}x に注意して =[(n+1)log2+logx-x/(2^n)][α→β] =log(β/α)-(β-α)/(2^n) =2log{2^n+√(4^n-1)}-2√{1-1/(4^n)} (3) S[n+1] =2log{2^(n+1)+√(4^(n+1)-1)}-2√{1-1/(4^(n+1))} より S[n+1]-S[n] =2log[{2^(n+1)+√(4^(n+1)-1)}/{2^n+√(4^n-1)}] -2√{1-1/(4^(n+1))}+2√{1-1/(4^n)} ∴ lim[n→∞]{S[n+1]-S[n]}=2log2
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