| 2010/06/28(Mon) 21:53:15 編集(投稿者)
方針は問題ありません。只、不定積分の符号が一部誤ってますね。 ∫{(logx)/(1+x)^3}dx=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2)∫dx/{x(1+x)^2} =-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2)∫{1/x-1/(1+x)-1/(1+x)^2}dx =-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){logx-log(1+x)+1/(1+x)}+C (C:積分定数) ですので I=-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){logx-log(1+x)+1/(1+x)} と置くと (与式)=[I][0→∞] さてここからですが lim[x→∞]I=lim[x→∞]{-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){log{x/(1+x)}+1/(1+x)}} =lim[x→∞]{-(1/2)(logx)/(1+x)^2+(1/2){log{1/(1/x+1)}+1/(1+x)}} =0 (lim[x→∞](logx)/(1+x)^2=0の証明は省略します。) lim[x→+0]I=lim[x→+0]{(1/2){1-1/(1+x)^2}logx-(1/2)log(1+x)+(1/2)/(1+x)} =… (第一項の極限は適当に変形すればロピタルの定理が使えます。) ですので (与式)=…
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