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■2331 / inTopicNo.1) 　NO TITLE
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□投稿者/ あいこ 一般人(2回)-(2005/07/28(Thu) 01:19:39)
    こんばんわ！夏休みの宿題でわからないところがあります。
    半径1の円C[1]に内接する正三角形をt[1]とし、t[1]に内接する円をC[2]、円C[2]に内接する正三角形をT[2]、以下同様にして、円C[ｎ]に内接する正三角形をT[ｎ]とすると、C[ｎ]の半径はア（）、T[ｎ]の一辺の長さはイ（）である。したがって、円C[1],C[2],C[3],････の面積の総和はウ（）、円周の総和はエ（）であり、正三角形T[1],T[2],T[3],･････の面積の総和はオ（）である。
    読みにくくてすいません。
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■2335 / inTopicNo.2) 　Re[1]: NO TITLE
□投稿者/ みっちぃ 付き人(69回)-(2005/07/28(Thu) 02:17:05)
    まず，T[1]の一辺と，C[2]の半径を考えましょう．そうすると，それ以降は等比数列の考え方でやっていけます．

    T[1]の一辺とC[2]の半径は，いろいろな方法が考えられますが，高校で習う計算法で求めることにします．

    外接円と内接三角形が出てきたら，『正弦定理』を思い浮かべてくださいね．
    T[1]の一辺をaとすると，正弦定理よりa/sin60°=2 (C[1]の半径が1だから) ⇒a=√3．

    三角形と内接円が出てきたら，『面積と内接円の半径の関係』の公式(名前は定かではないですが…)を考えてください．

    これは，面積S,三辺a,b,cとなる三角形があり，その内接円の半径がrであったとしましょう．このとき，S=r*(a+b+c)/2となります．
    この問題では，a=b=c=√3でS=3√3/4なので，r=2/3です．

    従って，T[1]の一辺は√3，C[2]の半径は2/3となります．
    では，T[2]の一辺はどうなるでしょう?
    『半径1のC[1]に内接する一辺が√3のT[1]』と『半径2/3のC[2]に内接するT[2]』の状況は相似です．
    従って，相似比が1:2/3なので，T[2]の一辺は2√3/3．
    『一辺が√3のT[1]に内接する半径2/3のC[2]』と『一辺2√3/3のT[2]に内接するC[3]』の状況も相似です．
    従って，C[3]の半径が(2/3)^2であることが分かります．…

    このようにしていくと，C[n]の半径，T[n]の一辺はともに，公比2/3の等比数列をなし，それぞれ(2/3)^(n-1)，√3*(2/3)^(n-1)となります．
    これが，(ア),(イ)の答え．

    (ウ)以降ですが，これは等比数列の和です．
    Σ[n=1..∞] (2/3)^(n-1) =lim[n→∞] Σ[k=1..n] (2/3)^(k-1)と書き直します．
    解くと=lim[n→∞] {1-(2/3)^n}/{1-(2/3)} =1/{1-(2/3)} =3．
    同様に，Σ[n=1..∞] (4/9)^(n-1) =lim[n→∞] Σ[k=1..n] (4/9)^(k-1)
    =lim[n→∞] {1-(4/9)^n}/{1-(4/9)} =9/5．

    これを用いて，(ウ)〜(オ)は頑張ってみてください．
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