数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[7]: 空間図形問題。。。 / Page: 0]

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■39453 / inTopicNo.1)

　空間図形問題。。。

□投稿者/ 某高校の受験生一般人(1回)-(2009/09/18(Fri) 21:04:21)

2009/09/18(Fri) 21:28:13 編集(投稿者)

一辺が2の立方体について、断面が6角形になるように切断したときに、この断面の最大値を求めよ。

という問題です。
うまくいかずに思い悩んでます。

どなたか詳しく解説をお願いします!!!

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■39461 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ 北川拓司一般人(2回)-(2009/09/20(Sun) 14:02:36)
http://kitataku19861.jugem.jp

(\sqrt{2})\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}\times\frac{1}{2}\times 6
となります。

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■39462 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ 通りすがりの人一般人(1回)-(2009/09/20(Sun) 16:21:39)

それって、解説なの？

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■39484 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ 説明はできないが、一般人(1回)-(2009/09/21(Mon) 21:42:06)

一辺の長さが√2の正六角形の面積になると思います。

面積Sは、一辺の長さが√2の正三角形(底辺√2,高さ√6/2)の面積の6倍なので、S=(1/2･√2･√6/2)･6＝3√3

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■39485 / inTopicNo.5)

　Re[2]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ 通りすがりの人２一般人(1回)-(2009/09/22(Tue) 11:17:23)

それって、解説なの？

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■39486 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ miyup 大御所(906回)-(2009/09/22(Tue) 13:16:04)

2009/09/22(Tue) 20:11:09 編集(投稿者)

「断面が正六角形になるとき、断面積は最大になる」ことを
示せばよいと思いますが、うまいアイディアがでてきません。

座標を使うのであれば
A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)として
立方体を平面ABCで切り取ったときの六角形の面積Sは
S＝1/2・√(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)・{1-((a-2)/a)^2-((b-2)/b)^2-((c-2)/c)^2}
　　ただし、2＜a,b,c
となるので
「a＝b＝c＝3 のとき面積最大になる」ことを
示せればよい。

p.s.
数値計算でいくつか試しましたが、
a＝b＝c＝3 では最大にならないようです。
b＝c＝3 だと a≒2.3 くらいで最大になるようです。

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■39487 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ らすかる大御所(671回)-(2009/09/22(Tue) 14:06:26)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

正六角形のときは最大ではないと思います。
立方体ABCD-EFGHにおいて、
(四角形の断面ABGHの面積)＝4√2＞3√3＝(正六角形の面積)
となりますが、この断面を微妙に傾けて
AからわずかにB寄りにA'、BからわずかにC寄りにB'、
GからわずかにH寄りにG'、HからわずかにE寄りにH'　（「わずかに」はすべて同じ距離）
をとってA',B',G',H'を通る平面で切ると、
断面はほぼ四角形ABGHの面積に近い六角形になります。
もしそのあたりが最大だとすると、最大値は存在しないことになるかも知れません。

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■39488 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ らすかる大御所(672回)-(2009/09/22(Tue) 17:54:54)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

AからわずかにB寄りのA'とわずかにDよりのA''、
GからわずかにF寄りのG'とわずかにHよりのG''をとって
BFの中点をP、DHの中点をQとすると
(六角形A'PG'G''QA''の面積)≒2√6＜3√3 となりますので、
正六角形は最小でもないですね。
結局、六角形になる断面の面積は最大値も最小値も存在しない気がします。
自作問題でしょうか？

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■39489 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ 某高校の受験生一般人(3回)-(2009/09/22(Tue) 20:53:54)

解説ありがとうございます!!!

自作問題じゃないですよ。

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■39490 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 空間図形問題。。。

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□投稿者/ らすかる大御所(673回)-(2009/09/22(Tue) 23:36:45)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

自作問題でないなら、問題の条件が不足しているのでは？
「この断面の最大値を求めよ」という問題で「最大値なし」という
答えになることはほとんどないと思います。

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