数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについては / Page: 0]

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■39666 / inTopicNo.1)

　正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについては

□投稿者/ megu 一般人(1回)-(2009/10/14(Wed) 06:47:12)

「一般に正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについてはp≡r (mod m)であるような素数pはmの約数だからそのようなpは有限個である」

と説明されているのですがどうしてか分かりません。
d:=gcd(r,m)とするとd=lr+nm (l,nは整数)と書けますよね。
更にp≡r (mod m)よりp=r+mt (tは整数)と書けますね。

よって d=l(p-mt)+nm=lp+m(n-lt)=lp+dm'(n-lt) (但し,m=m'd)
で lp=d(1-m'(n-lt))だからp|d(1-m'(n-lt))までは分かったのですが。。

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■39667 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについては

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□投稿者/ らすかる大御所(686回)-(2009/10/14(Wed) 10:58:41)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

p＞mだとするとそのpはm以下であるgcd(r,m)で割り切れるわけですから
素数ではないですね。

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■39669 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについては

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□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2009/10/14(Wed) 13:41:22)

d = gcd(r, m)ならば、r = Rd, m = Mdとなる整数R, Mが存在し、gcd(R, M) = 1です。
gcd(r, m)は自然数であるとすると、gcd(r, m) ≠ 1から、|gcd(r, m)| = |d| ≠ 1です。

tを整数として、p = r+mtとすると、p = (R+Mt)*dとなります。
pは有理数の整数の素数ですから、その約数は±1か±pです。
p = (R+Mt)*dかつ|d| ≠ 1より、|R+Mt| = 1かつ|d| = |p|でなくてはなりません。

|d|もdもmの約数ですから、|p|もpもmの約数です。

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■39672 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 正整数mに対してgcd(r,m)≠1であるようなrについては

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□投稿者/ megu 一般人(3回)-(2009/10/14(Wed) 23:14:32)

どうもありがとうございました。

素数と性質が使えましたね。なるほど納得です。

解決済み!

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