 | 平面上の2点P,Qの距離をd(P,Q)と表すことにする。平面上に点Oを中心とする一辺の長さが1000の正三角形△A_1A_2A_3がある。△A_1A_2A_3の内部に3点B_1,B_2,B_3を,d(A_n,B_n)=1 (n=1,2,3)となるようにとる。また,
↑a_1=↑A_1A_2,↑a_2=↑A_2A_3, ↑a_3=↑A_3A_1
↑e_1=↑A_1B_1, ↑e_2=↑A_2B_2, ↑e_3=↑A_3B_3
とおく。n=1,2,3のそれぞれに対して,時刻0にA_nを出発し、↑e_nの向きに速さ1で直進する点を考え,時刻tにおけるその位置をP_n(t)と表すことにする。
(1)ある時刻tでd(P_1(t),P_2(t))≦1が成立した。ベクトル↑e_1-↑e_2と,ベクトル↑a_1とのなす角をθとおく。このとき,|sinθ|≦1/1000となることを示せ。
(2)角度θ_1,θ_2,θ_3をθ_1=∠B_1A_1A_2,θ_2=∠B_2A_2A_3,θ_3=∠B_3A_3A_1によって定義する。αを0<α<π/2 かつ sinα=1/1000を満たす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで,θ_1+θ_2の値のとる範囲をαを用いて表せ。
(3)時刻t_1,t_2,t_3のそれぞれにおいて,次が成立した。
d(P_2(t_1),P_3(t_1))≦1, d(P_3(t_2),P_1(t_2))≦1,d(P_1(t_3),P_2(t_3))≦1
このとき,時刻T=1000/√3において同時に
d(P_1(t),O)≦3, d(P_2(t),O)≦3, d(P_3(t),O)≦3
が成立することを示せ。
という長〜い問題(東大09 第6問)の模範解答で１つ質問します。
（２）の解答の途中で
θ＝|∠B_1A_1C-θ_1| 点Cは↑A_1C=↑e_1-↑e_2
と書いてありました。 この絶対値はどうしてつくのでしょうか。図をかくとθがマイナスとなることは明らかに考えにくいのですが・・・
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