数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: 整数問題 / Page: 0]

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■41647 / inTopicNo.1)

　整数問題

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□投稿者/ aoki 一般人(3回)-(2010/05/10(Mon) 16:46:41)

またお願いします。

x,yを正の整数とするとき、2x^2+7xy+6y^2-104=0を解け。

という問題です。
方程式の変形がまずできません・・・。
どのように変形すればいいのでしょうか??

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■41648 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 整数問題

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□投稿者/ サボテン付き人(73回)-(2010/05/10(Mon) 16:49:58)

2x^2+7xy+6y^2=(2x+3y)(x+2y)

と変形してみたらいかがでしょう?

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■41650 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 整数問題

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□投稿者/ aoki 一般人(5回)-(2010/05/10(Mon) 17:42:05)

ありがとうございます。

一応その因数分解も考えたんですが、
(2x+3y)(x+2y)=104　となり、
(2x+3,x+2y)=(2,25),(4,26)(8,13)(1,104)
逆も含めて８個あります。

やっぱり、これって一つ一つ代入してとくしかないのでしょうか?

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■41652 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ らすかる大御所(804回)-(2010/05/10(Mon) 17:50:33)
http://www10.plala.or.jp/rascalhp

2010/05/11(Tue) 20:50:51 編集(投稿者)

2x+3y=a, x+2y=b とすると x=-3b+2a, y=2b-a
x,y＞0 から 2a＞3b, 2b＞a → 2b＞a＞b
これを満たす組合せは (a,b)=(13,8) のみなので、代入して (x,y)=(2,3)

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■41657 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1108回)-(2010/05/11(Tue) 18:21:31)

■No41650に返信(aokiさんの記事)
> (2x+3y,x+2y)=(2,25),(4,26)(8,13)(1,104)
> 逆も含めて８個あります。

一度に８つの連立方程式を解く。

2x+3y=  1, 2, 4, 8,13,26,52,104 …①
 x+2y=104,52,26,13, 8, 4, 2,  1 …②

②×2：2x+4y= 208, 104, 52, 26,16,  8,  4,   2
   ①：2x+3y=   1,   2,  4,  8,13, 26, 52, 104 (－
--------------------------------------------------
           y= 207, 102, 48, 18, 3,-18,-48,-102

①×2：4x+6y=   2,   4,  8, 16,26, 52,104, 208
②×3：3x+6y= 312, 156, 78, 39,24, 12,  6,   3 (－
--------------------------------------------------
        x   =-310,-152,-70,-23, 2, 40, 98, 205

x＞0, y＞0 より, (x,y)=(2,3)

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■41658 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 整数問題

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□投稿者/ 候補を絞って解くべき一般人(1回)-(2010/05/11(Tue) 23:07:55)

らすかるさんのようにx+2y＜2x+3y＜2(x＋2y)に気づけば一番いいが,

x>=1,y>=1より,
x+2y>=3,2x+3y>=5,x+2y<2x+3yでcheckをすると,
候補は(x+2y,2x+3y)=(4,26)と(x+2y,2x+3y)=(8,13)の2つに絞ることができ,
2つぐらいの候補ならそれほど計算が面倒に感じないかも.

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■41659 / inTopicNo.7)

　Re[4]: 整数問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1109回)-(2010/05/12(Wed) 07:55:10)

2010/05/12(Wed) 18:40:03 編集(投稿者)

No41657 は掃き出し法の拡張です。
こういう方法も知っておくとおもしろいと思います。

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■41661 / inTopicNo.8)

　Re[5]: 整数問題

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□投稿者/ 候補を絞って解いた方が一般人(1回)-(2010/05/12(Wed) 12:56:26)

2010/05/12(Wed) 16:15:48 編集(投稿者)

> No41657
　　　　２ｘ＋３ｙ＝　　　１，　　　２，　　４，　　８，１３，　２６，　５２，　１０４　…①
　　　　　ｘ＋２ｙ＝　１０４，　　５２，　２６，　１３，　８，　　４，　　２，　　　１　…②

②×２：２ｘ＋４ｙ＝　２０８，　１０４，　５２，　２６，１６，　　８，　　４，　　　２
　　 ①：２ｘ＋３ｙ＝　　　１，　　　２，　　４，　　８，１３，　２６，　５２，　１０４　（－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　ｙ＝　２０７，　１０２，　４８，　１８，　３，－１８，－４８，－１０２　…③

　　 ②：　ｘ＋２ｙ＝　１０４，　　５２，　２６，　１３，　８，　　４，　　２，　　　１
③×２：　　　２ｙ＝　４１４，　２０４，　９６，　３６，　６，－３６，－９６，－２０４　（－
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　ｘ　　　＝－３１０，－１５２，－７０，－２３，　２，　４０，　９８，　２０５

後半は(①×2)-(②×3)よりも②-(③×2)か①-(②+③)の方が計算量が少ないです.

> こういう方法も知っておくとおもしろいと思います。
いろいろなアプローチ方法を知識として持っておくは重要だと思います.
勿論,この意見には,大賛成です.

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■41662 / inTopicNo.9)

　Re[6]: 整数問題

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□投稿者/ miyup 大御所(1110回)-(2010/05/12(Wed) 15:29:56)

■No41661に返信(候補を絞って解いた方がさんの記事)
> miyupさんのご機嫌を多少悪くする内容をしていますが,

そのようにとらえているわけではありませんので
お気になさらないようにお願いします。

この件はここまでということで。

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■41663 / inTopicNo.10)

　Re[7]: 整数問題

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□投稿者/ 候補を絞って解いた方が一般人(2回)-(2010/05/12(Wed) 16:16:06)

miyupさんへ
> この件はここまでということで。
私も,自分が書いた2つ目の記事につきまして,
aokiさんへの回答に必要ないものは削除しておきます.ご了承下さい.