数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 指数の拡張 / Page: 0]

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■44479 / inTopicNo.1)

　指数の拡張

□投稿者/ タンゲント一般人(1回)-(2012/02/28(Tue) 14:30:27)

こんにちは。素朴な疑問なのですが・・・・
チャートに
$2$\sqrt[3]{-2}=(-2)^{\frac{1}{3}}$ としてはいけない。

( $2$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ はaが正のときの性質のため)

と書かれています。nが偶数なら実数にならないため納得がいきますが、nが奇数という条件も付けたらaが負の場合も定義は可能ではないのでないのでしょうか。

それとも何か不都合なことが起こるのでしょうか？

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■44480 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 指数の拡張

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□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2012/02/28(Tue) 16:16:52)

もちろん「nが奇数のとき[n]√a=a^(1/n)」と定義すれば成り立ちますが、
通常実数範囲の場合a^bはa≧0だけで定義されているように思います。

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■44484 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 指数の拡張

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□投稿者/ complexes 一般人(1回)-(2012/02/29(Wed) 17:08:13)

たとえば有理数としては $2$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}=\cdots$ などとなりますから、等号原理から言えば $2$(-2)^{1/3}=(-2)^{2/6}=(-2)^{3/9}=\cdots$ などは成立すべき要件のはずですが、一方で $2$\sqrt[3]{-2}=\sqrt[6]{(-2)^2}$ や $2$\sqrt[3]{-2}=(\sqrt[6]{-2})^2$ などは成立しない(左右で異符号)ので、そのような定義は整合的ではない(ill-defined)という意味で不都合です。

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