 | g(x)
=∫[t=-1→x^2]dt/(3t^2+1)
=∫[t=-1→x^2](1/3)dt/(t^2+1/3)
=∫[θ=-π/3→α](1/3)dθ/[{(tanθ)^2/3+1/3}*√3(cosθ)^2] （t=tanθ/√3と置換。ただし、x^2=tanα/√3）
=[θ/√3]_[θ=-π/3→α]
=(α+π/3)/√3
により、
k≧(α+π/3)/√3-√3|x|/2=h(x)
なので、y=h(x)の最大値を求める問題に帰着します。
さて、x^2=tanα/√3により、dα/dx=2√3x/(1+3x^4)なので、
x≧0のとき、
h'(x)=2x/(1+3x^4)-√3/2={(-1/3)*(√3-3x)^2(√3+2x+√3x^2)}/(2+6x^4)≦0
（等号成立は、x=1/√3のときのみ）
x＜0のとき、
h'(x)=2x/(1+3x^4)+√3/2={(1/3)*(3x+√3)^2(√3-2x+√3x^2)}/(2+6x^4)≧0
（等号成立は、x=-1/√3のときのみ）
以上により、y=h(x)の最大値は、h(0)=π/(3√3)
よって、求めるkの値は、π/(3√3)です。
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