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■50737 / 親記事)  命題の真偽
□投稿者/ デヴス 一般人(1回)-(2021/04/22(Thu) 14:31:57)
    実数aに関する以下のような命題は、
    真偽はどう考えればよいのでしょうか?
    1. a≧0ならばa^0=1である。
    2. a≧0ならば1/a>0である。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス8件(ResNo.4-8 表示)]
■50742 / ResNo.4)  Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(5回)-(2021/04/23(Fri) 02:59:26)
    人によって意見が分かれると思います。

    僕は質問者さんと同じ立場です。

    たとえば「a≧0ならば、aはどらえもんではない」(もしくは「a≧0ならば、aはどらえもんである」でもいいですが)に対して、
    * どらえもんは(一般数学用語としては)定義されていないからナンセンス(命題ではない)
    * 「どらえもんが定義されていない」という事実と「仮定は数学的に定義されている」という事実から命題と考えられ、かつ偽
    のどちらのスタンスに立つか、と言い換えられると思います。

    そして僕はこう言いかえるとナンセンスさがさらに際立つと思うので先に書いたように質問者さんと同じ立場です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50743 / ResNo.5)  Re[1]: 命題の真偽
□投稿者/ 黄桃 一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 08:55:08)
    こういう条件文のときは、まず、変数(この場合はa)がとりうる全体集合が何かを決めておく必要があります。
    もし、実数全体であれば、0^0=1 は偽(こう定義しているなら真かもしれませんが)ですし、1/0 は少なくとも数ではないので 1/0>0 は偽です。
    高校数学では、定義できない場合は最初から全体集合に含めないとする場合も多いので、最初からaの取りうる値は0以外の実数、とするのであれば、真となります。

    気になるのであれば、
    「ab>0 かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である 
    を考えてみてください。a,b が実数(有理数でも整数でもいいですが)であれば真ですが、複素数だと偽、というのはいいのでしょうか?(a=1+i, b=1-iなど)
    これもおかしいと思うのであれば、最初からきちんと全体集合は何か、確認するようにしましょう。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50745 / ResNo.6)  Re[2]: 命題の真偽
□投稿者/ sage 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 12:54:32)
    えっ、複素数で考えても例えば
    「a>0かつb>0」ならば「ab>0」
    のような命題なら真では?
    そして今回の2.の対偶
    「1/a≦0ならばa<0である」
    は上記と同様のケースとなり、 真 でしょう。
    対偶が真なので「a≧0ならば1/a>0である」も真かと。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50746 / ResNo.7)  Re[3]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(6回)-(2021/04/23(Fri) 13:59:14)
    sagaさん、

    黄桃さんが言っているのは
    > 「ab>0 かつ a+b>0」 ならば「 a>0 かつ b>0」である
    であり、これはa,bが実数の範囲なのか、複素数の範囲なのかで真偽が変わる命題ですよ。

    こういう例があるので本来使う文字の定義(数としての範囲)は先にきちんと定めておく必要があるという話でしょう。


    また対偶を取ったところで、aの範囲をはっきりさせない以上「1/aという表記自体意味をもたず、命題としてナンセンス」という解釈もありえるので本質は何も変わっていないです。


    さらに、2. の対偶を考えるさいに 1/a>0の否定を「1/a≦0」だと考えられているようですがこれは本当に正しいでしょうか?
    「1/a≦0 もしくは 1/a は定義されない」という可能性(解釈)はありえないですか?
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50747 / ResNo.8)  Re[4]: 命題の真偽
□投稿者/ 極限 一般人(7回)-(2021/04/23(Fri) 14:07:13)
    1/a>0の否定に関する補足です。

    1/a>0とは「1/aが数として定義され、かつ0と大小関係をもち、その結果が1/a>0」ということです。
    よってこの否定は「1/aが数として定義されない、もしくは定義されるが0と大小関係は持たない、もしくは定義されて0との大小関係を持ちその結果が1/a≦0」とするのが正しいと思います。

    もちろんaが非零実数であることが前提としてあるのなら「1/a>0」の否定は「1/a≦0」と簡潔に書くことはできます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50951 / 親記事)  無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ 山田 一般人(2回)-(2021/07/21(Wed) 00:11:34)
    画像の答えや途中式を教えてください。

    可能であれば手書きだと助かります。
    もちろんパソコンの文字でも構いません。よろしくお願い致します。

1124×719 => 250×159

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/44KB
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▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■50994 / ResNo.3)  Re[3]: 無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ べや 一般人(1回)-(2021/07/22(Thu) 22:17:26)
    No50993に返信(やべさんの記事)
    > ■No50955に返信(山田さんの記事)
    >>やっぱり自分でやります。ご迷惑をおかけしました。
    >
    > なりすましはやめんかい

    いかんめやはしますりな
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50998 / ResNo.4)  Re[4]: 無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ イオン 一般人(2回)-(2021/07/22(Thu) 23:34:56)
    No50994に返信(べやさんの記事)
    > ■No50993に返信(やべさんの記事)
    >>■No50955に返信(山田さんの記事)
    > >>やっぱり自分でやります。ご迷惑をおかけしました。
    >>
    >>なりすましはやめんかい
    >
    > いかんめやはしますりな

    お前何言うとんねん
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50999 / ResNo.5)  Re[5]: 無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ かすかべ在住 一般人(1回)-(2021/07/23(Fri) 02:49:38)
    No50998に返信(イオンさんの記事)
    > ■No50994に返信(べやさんの記事)
    >>■No50993に返信(やべさんの記事)
    > >>■No50955に返信(山田さんの記事)
    >>>>やっぱり自分でやります。ご迷惑をおかけしました。
    > >>
    > >>なりすましはやめんかい
    >>
    >>いかんめやはしますりな
    >
    > お前何言うとんねん


    掲示板では言葉のマナーを守りましょうね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51003 / ResNo.6)  Re[6]: 無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ しもいち 一般人(1回)-(2021/07/23(Fri) 21:39:03)
    No50999に返信(かすかべ在住さんの記事)
    > ■No50998に返信(イオンさんの記事)
    >>■No50994に返信(べやさんの記事)
    > >>■No50993に返信(やべさんの記事)
    >>>>■No50955に返信(山田さんの記事)
    > >>>>やっぱり自分でやります。ご迷惑をおかけしました。
    >>>>
    >>>>なりすましはやめんかい
    > >>
    > >>いかんめやはしますりな
    >>
    >>お前何言うとんねん
    >
    >
    > 掲示板では言葉のマナーを守りましょうね。

    なにゆっちょーる
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■51006 / ResNo.7)  Re[7]: 無限等比数列と微分の問題です。
□投稿者/ 日高 一般人(43回)-(2021/07/24(Sat) 13:33:25)
    No51003に返信(しもいちさんの記事)
    > ■No50999に返信(かすかべ在住さんの記事)
    >>■No50998に返信(イオンさんの記事)
    > >>■No50994に返信(べやさんの記事)
    >>>>■No50993に返信(やべさんの記事)
    > >>>>■No50955に返信(山田さんの記事)
    >>>>>>やっぱり自分でやります。ご迷惑をおかけしました。
    > >>>>
    > >>>>なりすましはやめんかい
    >>>>
    >>>>いかんめやはしますりな
    > >>
    > >>お前何言うとんねん
    >>
    >>
    >>掲示板では言葉のマナーを守りましょうね。
    >
    > なにゆっちょーる


    和訳しますと、「ウンチンぐボンバーファイヤー」または「息臭ボンバー」ですね。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50444 / 親記事)  3の個数
□投稿者/ イャWン知事 一般人(2回)-(2020/08/14(Fri) 09:29:46)
    5以上の自然数nをいくつかの自然数の和としてあらわします。
    和の中に現れる自然数の並びは区別します。

    nをいくつかの自然数の和であらわす全ての方法の中に3は全部でいくつ現れるでしょうか?

    教えていただけると助かります。よろしくお願いします。

    たとえば5をあらわす方法として3が現れるのは
    3+2
    2+3
    3+1+1
    1+3+1
    1+1+3
    があるので3は5個現れます。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■50452 / ResNo.3)  Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(4回)-(2020/08/14(Fri) 21:10:12)
    2020/08/14(Fri) 21:17:37 編集(投稿者)

    問題は「3が含まれる式の個数」ではなく「3は全部でいくつ現れるでしょうか?」ですから、
    3+1+3なら2個ですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50453 / ResNo.4)  Re[1]: 3の個数
□投稿者/ WIZ 一般人(10回)-(2020/08/14(Fri) 21:53:45)
    成程ね!

    # ちなみに、負け惜しみ言わせてもらうと、
    # らすかるさんも「通り」という単位を使っていたんだから、式数だと思っていませんでした?
    # 少なくとも私の日本語力では、
    # らすかるさん回答は3の出現数をカウントしているようには読み取れないんだけど。
    # まあ、結果オーライかもしれないけど、答案としては減点されますよね!?

    ごめんなさい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50454 / ResNo.5)  Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2020/08/14(Fri) 22:50:13)
    そうですね。途中計算は1+1+1に対して他の組合せの数なので「通り」で
    問題ないと思いますが、最後の答えの単位は「個」とすべきでした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50455 / ResNo.6)  Re[2]: 3の個数
□投稿者/ イャWン知事 一般人(3回)-(2020/08/15(Sat) 08:53:05)
    とても分かりやすく教えていただき
    ありがとうございましたm(_ _)m
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50456 / ResNo.7)  Re[2]: 3の個数
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2020/08/15(Sat) 11:06:53)
    2020/08/15(Sat) 11:19:08 編集(投稿者)

    No50453に返信(WIZさんの記事)
    > 成程ね!
    >
    > # ちなみに、負け惜しみ言わせてもらうと、
    > # らすかるさんも「通り」という単位を使っていたんだから、式数だと思っていませんでした?
    > # 少なくとも私の日本語力では、
    > # らすかるさん回答は3の出現数をカウントしているようには読み取れないんだけど。

    途中の質問に気づいていませんでしたので回答します。
    期待に応えられませんが、残念ながら違います。場合の数の問題ではこれと同様なものは頻出ですから、
    最初からきちんと「式数」ではなく「3の個数」と意識していましたし、「式数」なら簡単ではないのは
    最初からわかっていましたが、「個数」だからこの計算でいける、と考えて解答を書いていました。
    途中計算では「通り」の方が自然ですが、最後の解答だけ「個」にすべきであったところだけうっかりしていたというのはガチです。
    (場合の数の問題で途中がすべて「通り」で最後だけ「個」にすべきである問題に出会ったのは初めてです)
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■49020 / 親記事)  整数解
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2019/02/13(Wed) 21:52:58)
    5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0    の 整数解を全て 是非求めて下さい;
引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]
■50569 / ResNo.3)  Re[3]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(2回)-(2020/12/12(Sat) 06:07:48)
    先に結論を書いておきます
    そのあとに幅ひろく通用する導出過程を記しておきます
    長くなるのでここのページでは結果だけとします

    α=√21, ε=(5+α)/2, s=19+9α, t=2+8α,
    Kを有理数体にαを添加して得られる体とし,
    有理整数環ZのKにおける整閉包をAとする.

    KはQ上のベクトル空間として基底{1,α}を持つので
    各w∈Kに対して,w=p+qαを満たすp,q∈Qが一意的に取れるが
    f(w)=p, g(w)=q によりKからQへの関数f,gを定める.

    x,yが問題の方程式を満たす整数であるとき,
    以下の(1)-(4)のいずれかが成立し,また逆も成立する:

    (1)
    ある整数nが存在して
    u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
    x = (23+u)/21
    y = (-x-v-9)/4
    このとき,n≡0(mod 6)

    (2)
    ある整数nが存在して
    u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
    x = (23-u)/21
    y = (-x-v-9)/4
    このとき,n≡4(mod 6)

    (3)
    ある整数nが存在して
    u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
    x = (23+u)/21
    y = (-x+v-9)/4
    このとき,n≡2(mod 6)

    (4)
    ある整数nが存在して
    u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
    x = (23-u)/21
    y = (-x+v-9)/4
    このとき,n≡2(mod 6)

    (3),(4)はn≡2(mod 6)の部分は同じだが
    u,vの取り方とx,yの対応の仕方が異なる


    念の為,小さい解をいくつか求めてみる

    (1)のパターンから導かれる解:
    n= 0 とすれば
    (u,v)=(19,9) より (x,y)=(2,-5)
    n= -6 とすれば
    (u,v)=(-134549,29361) より (x,y)=(-6406,-5741)
    n= 6 とすれば
    (u,v)=(364411,79521) より (x,y)=(17354,-24221)

    (2)のパターンから導かれる解:
    n=4 とすれば
    (u,v)=(10187,2223) より (x,y)=(-484,-437)
    n= -2 とすれば
    (u,v)=(-397,87) より (x,y)=(20,-29)

    (3)のパターンから導かれる解:
    n=2 とすれば
    (u,v)=(691,151) より (x,y)=(34,27)

    (4)のパターンから導かれる解:
    n=2 とすれば
    (u,v)=(443,97) より (x,y)=(-20,27)

    勿論きりがないので具体的を挙げるのはこれで終わりとします
    解の表現としては整数係数の漸化式で与える方法もありますが
    すでに構成した表現から漸化式を得るの難しくないでしょう

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50570 / ResNo.4)  Re[4]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 06:11:20)
    以下は導出過程です
    記号はさっきの記事を継承します

    まず必要条件から絞ることを考える
    5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0
    がある整数x,yに対して成立していたとする

    -4y = x+9 ± √(21x^2-46x+89) ...(△)
    となるように符号を選ぶことができる

    21x^2-46x+89 = w^2 を満たす整数wが取れる
    よって, (21x-23)^2 - 21w^2 = -1340 を得る
    z = 21x-23 とおけば z^2 - 21w^2 = -1340 ...(☆)

    ここで I=(z-wα)A とおく
    (つまり,Iはz-wαで単生成するAのイデアル)

    以下, N(.)はAのイデアルのノルム関数とする.

    ☆より N(I) = |1340| = 2^2*5*17 である

    Kの判別式は 21 であるので
    (21/5) = (21/67) = 1 より
    5A,67A は以下のように異なる素イデアルの積に分解する:
    5A = (5,α+1)(5,α-1)
    67A = (67,α+17)(67,α-17)

    また,2Aは既に素イデアルである

    したがって N(I)= 2^2*5*17 とあわせて
    Iは以下の4つのいずれかに一致している:

    2A(5,α+1)(67,α+17)
    2A(5,α+1)(67,α-17)
    2A(5,α-1)(67,α+17)
    2A(5,α-1)(67,α-17)

    それぞれのイデアルの積を計算すると

    (19 + 9α)A,(2 - 8α)A,(19 - 9α)A,(2 + 8α)A となる

    (共役を考えれば4つのうち前半の2つだけで残りがわかる)

    さて,Aの基本単数を計算することになるが
    そのためには |p^2-21q^2|=4 を満たす最小の正整数解を求めればよい.
    (p,q)=(5,1)が要件を満たすので冒頭で定めたεは実は基本単数である.
    (一般には正則連分数展開から2次体の基本単数は高速に求まる)

    I = (19 + 9α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (19 + 9α)A であるので
    z-wα = ±(19 + 9α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (19 - 9α)A のケースを考える必要はない

    I = (2 + 8α)A のときを考える
    このとき, (z-wα)A = (2 + 8α)A であるので
    z-wα = ±(2 + 8α)ε^n を満たす整数nが取れる
    εの共役は 1/ε であるのだから
    I = (2 - 8α)A のケースを考える必要はない

    まとめると ある整数nが存在して
    z-wα = ±sε^n または z-wα = ±tε^n
    が成立するように符号を選ぶことができる

    z = 21x-23 だから z≡ -2 (mod αA) となる
    よって, ε,s,t をmod αA で考えることで
    nが偶数であることがいえる

    より正確には,
    z-wα = sε^n または z-wα = -tε^n
    がある偶数nに対して成立するとなる,

    あとは△の右辺が4の倍数である条件を考えるだけでよい.
    そのためには ε^6≡1 (mod 4A) などに注意して
    nをmod 6 で類別し s,t,ε^2,ε^4 などをmod 4Aで計算する.
    ここからはひたすらルーチンなので ここで終わりとする
    (絞れて得られた解が実際に解になることは難しくない)

    以上の解法を4ステップでいうなら
    まず判別式、次にイデアルの計算、そして基本単数、最後にmodulo計算
    (実は今回のパターンではAは単項イデアル整域である
    そのことはたとえばMinkowski's boundを用いれば易い
    しかしながらAがPIDでなくても上記解法に不都合は生じない)

    導出過程の概略ここまで



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■50571 / ResNo.5)  Re[5]: 整数解
□投稿者/ 2666 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 14:51:35)
     高校数学レベルでの解き方はできないのですか?

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■50572 / ResNo.6)  Re[6]: 整数解
□投稿者/ ポートニック 一般人(4回)-(2020/12/14(Mon) 03:13:51)
    No50571に返信(2666さんの記事)
    >  高校数学レベルでの解き方はできないのですか?
    >

    原理的には可能でしょう
    ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
    どういうアプローチがあるかというのを
    行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
    高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます

    今回は結果をみてもわかるとおり少し複雑なので
    たとえば幾分シンプルなケース: x^2 -2y^2 = 1
    これぐらいなら高校数学の問題と出題しても大丈夫だとおもわれます
    (ただこれはこれで有名すぎるかもしれないが...)

    私は本題の出題者ではないし 本題が高校数学の問題として適切かどうかは保留とします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50577 / ResNo.7)  Re[7]: 整数解
□投稿者/ q 一般人(1回)-(2020/12/15(Tue) 15:34:32)
    No50572に返信(ポートニックさんの記事)
    > ■No50571に返信(2666さんの記事)
    >> 高校数学レベルでの解き方はできないのですか?
    >>
    >
    > 原理的には可能でしょう
    > ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
    > どういうアプローチがあるかというのを
    > 行きあたりばったりではなく 系統的に説明する場合は
    > 高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます
    >

    C;5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0
         は双曲線であり
         
      漸近線が
    -(((105 x+(21 Sqrt[21]-21) y+53 Sqrt[21]-168) (-105 x+(21+21 Sqrt[21]) y+53 Sqrt[21]+168))/2205)=0
    y=1/84 (-Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189),
    y=1/84 (Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189)
    である ことから
    C∩Z^2 を 求める方法を 是非教えてください;


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■52357 / 親記事)  複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2023/10/12(Thu) 13:05:25)
    すみません。問題と質問内容はファイルにしました。よろしくお願いいたします。
745×1053 => 177×250

1697083525.jpg
/116KB
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▽[全レス6件(ResNo.2-6 表示)]
■52359 / ResNo.2)  Re[2]: 複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2023/10/12(Thu) 18:31:48)
    ありがとうございます。確かに教科書にそう書いてありました。
    この方法でやることはこの問題では無理なのでしょうか?
    もし添付ファイルの解き方で解けるのであれば教えていただきたいです。
    どうしてもこの形だと両辺を2乗したくなります。
    よろしくお願いいたします。
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■52360 / ResNo.3)  Re[3]: 複素数平面
□投稿者/ らすかる 一般人(23回)-(2023/10/13(Fri) 00:14:27)
    普通にzに関する二次方程式
    (√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
    を解の公式で解けばよいと思います。

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■52361 / ResNo.4)  Re[4]: 複素数平面
□投稿者/ waka 一般人(3回)-(2023/10/13(Fri) 08:54:33)
    ありがとうございました。解けました。
    念のため確認なのですが、解の公式で係数が虚数のときでも、zに関する2次方程式の時には解の公式が使えるという認識でよろしいでしょうか。係数が虚数の時は使えないという問題があったと思うのですが。
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■52362 / ResNo.5)  Re[5]: 複素数平面
□投稿者/ らすかる 一般人(24回)-(2023/10/13(Fri) 09:04:47)
    解の公式は
    ax^2+bx+c=0
    a(x+b/(2a))^2-b^2/(4a)+c=0
    a(x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a)
    (x+b/(2a))^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
    x+b/(2a)=±√(b^2-4ac)/(2a)
    x={-b±√(b^2-4ac)}/(2a)
    というただの式変形ですから、虚数でも問題なく使えます。
    √の中身が虚数になる場合は展開する必要がありますが、
    今回の問題では(負の)実数ですのでそのような問題もありません。

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■52363 / ResNo.6)  Re[3]: 複素数平面
□投稿者/ パン 一般人(1回)-(2023/10/13(Fri) 09:45:32)
    (√3+i)z^2-4z+4(√3-i)=0
    (√3+i)z^2-(√3+i)(√3-i)z+(√3+i)(√3-i)^2=0
    z^2-(√3-i)z+(√3-i)^2=0
    z^2+(i-√3)z+(i-√3)^2=0
    z^3-(i-√3)^3=0
    z^3=(i-√3)^3
    z=(i-√3)ωと(i-√3)ω^2
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