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□投稿者/ 夜勤中断 一般人(1回)-(2023/05/05(Fri) 17:08:54)
 | 正の整数nでn<m<3nかつgcd(n,m)=1を満たすmが全て素数である
ようなものを全て求めるにはどうすればよいのでしょうか？
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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
| ■52311 / ResNo.1) |
Re[1]: 整数問題
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□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2023/09/15(Fri) 00:13:18)
| n = 1のとき、1 < m < 3*1を満たし、(1, m) = 1となるのはm = 2のみなので題意を満たします。
n > 1のとき、n < 2n-1 < 2n+1 < 3nであり、(n, 2n-1) = (n, 2n+1) = 1だから、
nが題意を満たすなら2n-1と2n+1が共に素数であることが必要です。
従って、題意を満たすnを全て求めるということは、双子素数を全て求めるということに匹敵します。
現在、双子素数が有限個か無限個かは未解決だと思いますので、おそらくこの質問の回答も未解決ということになるのではないでしょうか?
それとも、質問者さんは双子素数問題に挑んでいて、何らかの情報を集めていらしゃるのかな?
余談ですが、昔まだフェルマーの大定理が未解決だった頃、東大入試にそれを証明せよという問題が出題されたことがあり、もしかして解いてしまう強者受験生がいるかもしれないという期待があったようですが。
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| ■52312 / ResNo.2) |
Re[1]: 整数問題
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□投稿者/ らすかる 一般人(10回)-(2023/09/15(Fri) 08:39:07)
| ※一部未証明です。
n=1,2は条件を満たす。
nが3以上の奇数のとき、m=n+1とすればgcd(n,m)=1かつmが非素数（4以上の偶数）なので不適。
nが4以上で3で割り切れない偶数のとき、n<m<3n, m=3^kを満たすmが存在するので不適。
よってn≧3ではnが6の倍数の場合のみ考えればよい。
n=6は条件を満たす。
n=12,18,24のときm=25がnと互いに素な非素数。
n=30,36,42,48のときm=49がnと互いに素な非素数。
n=54のときm=121がnと互いに素な非素数。
k≧5のときprime[k+2]/prime[k]＜√3（要証明だが難しいかも）だから
3n＞13^2のときnと3nの間に素数の2乗が2個以上存在する。
よってn≧60のときnと3nの間に素数の2乗p^2とq^2が存在し、
gcd(n,p)=1またはgcd(n,q)=1のいずれかが成り立つので
m=p^2またはm=q^2がnと互いに素な非素数となる。
よって条件を満たすnはn=1,2,6の3個のみ。
# というわけで、まず間違いなく成り立つであろう「k≧5のときprime[k+2]/prime[k]＜√3」が示せれば、上記が成り立ちます。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)