数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 24]

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■ 2006/2/20より、累計：

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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

確率における情報(17) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

素数(6) |

順列組合せ～区別するものしないもの(6) |

三角形の辺の長さ(6) |

極形式(6) |

フェルマーの最終定理の証明(6) |

複数の点によって構成される多角形を相互の距離情報から類推する方法(6) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

積と和が一致する自然数の組(5) |

複素数の関数(5) |

素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理(5) |

係数(4) |

確率(4) |

Lambert W関数を用いた数式(4) |

極限(3) |

積分(3) |

素数(3) |

角度(3) |

極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

確率(2) |

速度(2) |

質問(2) |

■52127 / 親記事)

　整数ですか？

□投稿者/ 整数一般人(1回)-(2023/03/07(Tue) 16:03:40)

$2$a, \, b, \, c$ は整数で、 $2$a=b=c$ ではないとします。
$2$ \frac{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4}$
は整数ですか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52128 / ResNo.1)

　Re[1]: 整数ですか？

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2023/03/07(Tue) 19:31:04)

(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7 = 7(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2
なので
{(a-b)^7+(b-c)^7+(c-a)^7}/{(a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4} = (7/2)(a-b)(b-c)(c-a)
であり、a-b,b-c,c-aのうち少なくとも一つは偶数なので、与式は整数になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52129 / ResNo.2)

　Re[2]: 整数ですか？

□投稿者/ 整数一般人(2回)-(2023/03/08(Wed) 09:40:53)

ありがとうございます。

解決済み!

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■52120 / 親記事)

　複素数

□投稿者/ 複素数一般人(1回)-(2023/03/05(Sun) 21:16:09)

複素数x,y,zが
x+y+z=0かつx^4+y^4+z^4=0
を満たしているとき
x^2+y^2+z^2
の値を教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52121 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2023/03/05(Sun) 22:32:41)

x=y=z=0は条件を満たし、このときのx^2+y^2+z^2の値は0
x=y=z=0でないとき、z≠0とすれば
x/z+y/z+1=0かつ(x/z)^4+(y/z)^4+1=0
x/z=a, y/z=bとおくと
a+b=-1, a^4+b^4=-1
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1-2ab
a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=(1-2ab)^2-2a^2b^2=1-4ab+2a^2b^2=-1
2(ab)^2-4ab+1=-1
2(ab)^2-4ab+2=0
(ab)^2-2ab+1=0
(ab-1)^2=0
ab=1
よって
a^2+b^2=1-2ab=-1
a^2+b^2+1=0
両辺にz^2≠0を掛けて
x^2+y^2+z^2=0
従ってx=y=z=0かどうかにかかわらずx^2+y^2+z^2=0

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■52122 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ 複素数一般人(2回)-(2023/03/05(Sun) 23:09:48)

有難うございます。
大変分かり易かったです。

解決済み!

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■52117 / 親記事)

　五角形への疑問

□投稿者/ park235 一般人(2回)-(2023/03/03(Fri) 21:06:42)

単位円に五角形が内接しています
この五角形の辺のどれかは長さが無理数ですか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52118 / ResNo.1)

　Re[1]: 五角形への疑問

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2023/03/03(Fri) 23:41:29)

例えば
A(1,0),B(7/25,24/25),C(-7/25,24/25),D(-1,0),E(7/25,-24/25)
とすれば
AB=CD=EA=6/5, BC=14/25, DE=8/5
となります。

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■52119 / ResNo.2)

　Re[2]: 五角形への疑問

□投稿者/ park235 一般人(3回)-(2023/03/04(Sat) 21:05:02)

ありがとうございました

解決済み!

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■52112 / 親記事)

　中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）

□投稿者/ 未熟者一般人(1回)-(2023/02/09(Thu) 17:56:59)

中間値の定理の証明で、関数fが区間[a,b]で定義され、連続で、f(a)=α<0、f(b)=β>0とする。そのときf(c)=0となるcがaとbの間に存在するとあり、本にその証明として、

a≦d<bかつ区間[a,d]で常にf(x)<0であるようなd全体の集合をAとする。bはAの一つの上界なのでAは上に有界である。そこでsup A=cとする。a≦x<cとすれば、x<d<cを満たすdがあるからf(x)<0、よって区間[a,c)でf(x)<0である。ゆえにfの連続性からlim(x→c-0)f(x)=f(c)≦0となる。（以下略）

とあるのですが、なぜfの連続性によってf(c)≦0となるのでしょうか。区間[a,c)でf(x)<0なのになぜ=がついて<が≦になるのかがわかりません。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52113 / ResNo.1)

　Re[1]: 中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2023/02/09(Thu) 18:05:56)

例えばf(x)=-x^2のとき[-2,0)でf(x)＜0ですがf(0)=0ですね。これと同じことです。

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■52146 / ResNo.2)

　Re[1]: 中間値の定理の証明（区間縮小法ではない）

□投稿者/ muturajcp 一般人(6回)-(2023/04/07(Fri) 20:12:40)

f(c)<0と仮定する
ε=-f(c)とすると
ε=-f(c)>0
fは連続だから

ε=-f(c)>0に対して
あるδ>0が存在して
|x-c|<δとなる任意のxに対して
|f(x)-f(c)|<ε
f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε=f(c)-f(c)=0
f(x)<0…(1)
だから

x=c+δ/2
とすれば
|x-c|=δ/2<δだから(1)から
f(x)=f(c+δ/2)<0
だから

c<c+δ/2∈A={d|a≦d<b,f(d)<0}
だから
c=supA,cがAの上界である事に矛盾するから
∴
f(c)≧0

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■52080 / 親記事)

　級数の収束半径のもんだいです

□投稿者/ つくも一般人(1回)-(2023/01/26(Thu) 17:14:48)

級数の収束半径のもんだいです

780×143 => 250×45