数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 34]

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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

確率における情報(17) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

素数(6) |

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フェルマーの最終定理の証明(6) |

複数の点によって構成される多角形を相互の距離情報から類推する方法(6) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

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複素数の関数(5) |

素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理(5) |

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確率(4) |

Lambert W関数を用いた数式(4) |

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積分(3) |

素数(3) |

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極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

確率(2) |

速度(2) |

質問(2) |

■50830 / 親記事)

　二次方程式

□投稿者/ あり一般人(1回)-(2021/06/10(Thu) 16:52:52)

aを3以上の整数とする。二次方程式x^2-ax+1=0の二つの解をα,βとすると
任意の正の整数nに対してα^n+β^nとa-1は互いに素であることを示せ。

教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50831 / ResNo.1)

　Re[1]: 二次方程式

□投稿者/ らすかる付き人(58回)-(2021/06/10(Thu) 18:05:35)

a=3,n=3のとき成り立ちませんので示すことはできません。
実際、x^2-3x+1=0の解はx=(3±√5)/2、
{(3+√5)/2}^3+{(3-√5)/2}^3=18、a-1=2なので互いに素ではありません。

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■50832 / ResNo.2)

　Re[2]: 二次方程式

□投稿者/ あり一般人(2回)-(2021/06/11(Fri) 07:41:53)

本当ですね…問題が間違っていたわけだ。
ありがとうございました。

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■50795 / 親記事)

　無限積分

□投稿者/ megumi 一般人(11回)-(2021/05/19(Wed) 15:56:25)

2021/05/22(Sat) 12:45:59 編集(投稿者)

　ディリクレ積分

　　∫[0→∞] sin(x)/x dx = π/2

を利用して

　　∫[0→∞] sin(2x)sin(x)/x^2 dx

を求めたのですが計算が合いません。間違いをご指摘ください。

723×767 => 235×250

1621407385.png/50KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50796 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限積分

□投稿者/ 豚の脂身一般人(1回)-(2021/05/19(Wed) 17:09:08)

$2$\displaystyle \large \frac{1}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{3 \sin (3x)}{{}x} dx \, - \, \frac{1}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{\sin (x)}{x} dx \\ =\, \frac{3}{\,2\,}\, {\displaystyle\int_{0}}^{\infty} \frac{ \sin (3x)}{3x} d(3x) \, - \, \frac{1}{\,2\,} \, \frac{\pi}{\,2\,} \\ =\, \frac{3}{\,2\,}\, \frac{\pi}{\,2\,}\, -\, \frac{1}{\,2\,} \,\frac{\pi}{\,2\,} \\ =\, \frac{3 \pi}{\,4\,}\, -\, \frac{\pi}{\,4\,} \\ =\, \frac{\pi}{\,2\,}$

ですかね。

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■50797 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限積分

□投稿者/ megumi 一般人(12回)-(2021/05/19(Wed) 17:30:26)

　あちゃ～、詰めのところでいろいろ計算ミスしてるなあwwwww

　すばやい回答ありがとうございました。

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■50780 / 親記事)

　約数

□投稿者/ 約数一般人(1回)-(2021/05/13(Thu) 10:27:10)

次の条件を満たす最大の自然数nはどうやって求めるのでしょうか？

条件：n=a+bを満たすいかなる自然数a,bに対しても、必ずσ(a)≦2aまたはσ(b)≦2bが成り立つ。

ここで、σ(a)はaの正の約数の和です。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50781 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数

□投稿者/ らすかる付き人(50回)-(2021/05/13(Thu) 14:50:51)

↓こちらのページによると
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
とのことですから、nの最大値は20161ですね。
この証明を書くには
「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
と
「20161を2数の和で表したとき、2数のうち少なくとも一つは過剰数でない」
を証明しなければなりませんね。

前者は例えば
n=6k のとき n=12+(6k-12)　（※12以上の6の倍数は過剰数）
n=6k+2 のとき n=20+(6k-18)　（※20は過剰数）
n=6k+3 のとき n=945+(6k-942)　（※945は過剰数）
n=6k+4 のとき n=40+(6k-36)　（※40は過剰数）
n=6k+1のうち
n=60k+25 のとき n=945+(60k-920)　（※20の倍数は過剰数）
n=60k+55 のとき n=1575+(60k-1520)　（※1575は過剰数）
・・・
のように絞っていけば、おそらく証明できると思います。

後者は20161未満のすべての過剰数を考えて
20161を2数の和で表すと片方が奇数で片方が偶数
20161未満の奇数の過剰数はすべて15の倍数で
20161≡1(mod15)だから、偶数の方はm≡16(mod30)
よって
20161未満の奇数の過剰数
945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615,6825,
7245,7425,7875,8085,8415,8505,8925,9135,9555,9765,10395,11025,
11655,12285,12705,12915,13545,14175,14805,15015,15435,16065,16695,
17325,17955,18585,19215,19305,19635,19845
と
20161未満で30で割って16余る過剰数
196,636,1036,1236,1696,1896,2176,2316,3016,3156,3496,3576,4216,
4416,4816,5076,5656,5796,6016,6096,6256,6516,6976,7236,7696,
7776,8056,8196,8536,8616,9196,9276,9856,10296,10696,10836,11176,
11556,11956,12396,12796,13176,13456,13656,13816,13956,14416,14496,
15136,15336,15496,15636,16156,16476,16996,17076,17416,17556,17836,
18276,18616,18696,19456,19536
のどれを足しても20161にならないことを示せば証明できますが、
そもそも上記の過剰数を列挙するだけでも大変ですね。

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■50782 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数

□投稿者/ 約数一般人(2回)-(2021/05/13(Thu) 19:05:31)

大変な問題だったのですね…。
有難うございました。

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■50777 / 親記事)

　約数

□投稿者/ 青コブダイ一般人(1回)-(2021/05/10(Mon) 19:59:26)

1より大きなある自然数の正の約数すべてを単調増加になるように
1=a[1] < a[2] < ………
と並べたときのa[2]は、口頭で指し示すときに
・1の次に大きな約数
・1の次に小さな約数
のどちらで呼べばよいのでしょうか？ご教示下さい。

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■50778 / ResNo.1)

　Re[1]: 約数

□投稿者/ らすかる一般人(49回)-(2021/05/10(Mon) 20:28:56)

1は「最も小さい約数」ですから、
「1の次に小さな約数」になります。

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■50779 / ResNo.2)

　Re[2]: 約数

□投稿者/ 青コブダイ一般人(2回)-(2021/05/10(Mon) 21:55:18)

助かりました。ありがとうございました。

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■50764 / 親記事)

　場合の数

□投稿者/ 立方体一般人(1回)-(2021/05/01(Sat) 12:56:23)

立方体OABC-DEFGから四角すいD-OABCを切り取って捨てた。
残った立体ABC-D-EFGを全て四面体になるように切り分ける方法は何通りあるか。
ただし切り分けた四面体はどれも頂点がA,B,C,D,E,F,Gのいずれかであるとする。

教えて下さい。

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■50765 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数

□投稿者/ らすかる一般人(43回)-(2021/05/01(Sat) 14:41:32)

立体のイメージはあまり得意ではないので難しいですね。
でも細かく場合分けしていけば数えられます。
まず△ADEとどこかの頂点で一つの四面体になりますが、
あり得る頂点はB,F,Gのいずれかです。

B-ADEを取り除いた場合
残りは三角柱BEF-CDGです。
△BEFとC,D,Gのいずれかの頂点で一つの四面体になりますが、
どの頂点を選んでも残りは四角錐となり、四角錐を四面体2つに
分ける方法は2通りですから、全部で2×3=6通りになります。

F-ADEを取り除いた場合
△ADFとBまたはGで一つの四面体になります。
B-ADFのとき四角錐が残りますので2通り、
G-ADFのときD-BCGとA-BFGと決まりますので1通り、計3通りです。

G-ADEを取り除いた場合
D-BCGが確定しますのでそれを取り除くと四角錐が残り、2通りです。

従って全部で 6+3+2=11通りとなります。

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■50767 / ResNo.2)

　Re[2]: 場合の数

□投稿者/ 立方体一般人(2回)-(2021/05/02(Sun) 10:15:14)

有難うございました。
とても分かりやすかったです。

解決済み!

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