■50649 / ResNo.1) |
Re[1]: cos(1)とtan(1/2)
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□投稿者/ らすかる 一般人(13回)-(2021/03/05(Fri) 18:47:25)
![](http://www.crossroad.jp/bbs/icon/pen1_01.gif) | y=cosx,y=tan(x/2)のグラフと y=cosxに(π/3,cos(π/3))で接する接線、 y=tan(x/2)に(π/3,tan(π/6))で接する接線を考えると 2接線は(√3)(x-π/3)+2y=1と2(x-π/3)-3y+√3=0で その交点のx座標はx=π/3-(30-17√3)/11 π/3-(30-17√3)/11<(1/3)(22/7)-(30-17√3)/11 =(357√3-388)/231 (357√3)^2=382347<383161=619^2から 357√3<619 357√3-388<231 (357√3-388)/231<1 よって2接線の交点のx座標は1より小さい。 y=cosxは0<x<π/2で単調減少かつ上に凸なので (π/3,cos(π/3))で接する接線はy=cosxより右にある。 y=tan(x/2)は0<x<π/2で単調増加かつ下に凸なので (π/3,tan(π/6))で接する接線はy=tan(x/2)より右にある。 従って2接線の交点はy=cosxとy=tan(x/2)の交点より右にあるので、 y=cosxとy=tan(x/2)の交点のx座標は2接線の交点のx座標より小さく、 すなわち1より小さい。 ゆえにy=cosxとy=tan(x/2)は0<x<1の範囲内で交わり、 0<x<π/2でy=cosxは単調減少、y=tan(x/2)は単調増加なので x=1においてはtan(x/2)>cosx。 よってtan(1/2)>cos(1)。
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