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■50482 / 親記事) 　3次元空間の点
□投稿者/ まるた 一般人(1回)-(2020/08/29(Sat) 17:52:16)
    3次元空間の点(x,y,z)について
    x+y+z＜xyz または x^2+y^2+z^2≧xyz
    が成り立つことの証明を教えて下さい
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50484 / ResNo.1) 　Re[1]: 3次元空間の点
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2020/08/29(Sat) 23:37:51)
    どちらも成り立たないと仮定すると
    x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz
    を満たす(x,y,z)が存在することになる。
    これが成り立つならば、x,y,zすべて絶対値をとって正にしても成り立つので、
    x,y,zが正で成り立つものが存在しないことが言えれば十分。
    よってx,y,zは正と仮定する。
    三変数の相加相乗平均から
    x^2+y^2+z^2≧3[3]√(x^2y^2z^2)=3(xyz)^(2/3)
    なので
    xyz＞x^2+y^2+z^2≧3(xyz)^(2/3)
    xyz＞3(xyz)^(2/3) を解くと xyz＞27 … (1)

    x+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz から
    x^2+y^2+z^2＜x+y+z
    整理して
    (x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2＜3/4
    3/4＜1なので、少なくとも
    (x-1/2)^2+(y-1/2)^2+(z-1/2)^2＜1
    が成り立たなければならない。
    このとき0＜x＜3/2かつ0＜y＜3/2かつ0＜z＜3/2となるが、
    これは(1)を満たさないので矛盾。
    従ってx+y+z≧xyz かつ x^2+y^2+z^2＜xyz
    を満たす(x,y,z)は存在しないので、
    x+y+z＜xyz または x^2+y^2+z^2≧xyz
    が常に成り立つ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50487 / ResNo.2) 　Re[2]: 3次元空間の点
□投稿者/ まるた 一般人(2回)-(2020/08/30(Sun) 18:36:20)
    ありがとうございました
    よく分かりました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50476 / 親記事) 　1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。
□投稿者/ Megumi 一般人(1回)-(2020/08/25(Tue) 20:18:57)
    　　1/(z^2-1) = 1/(z-1)*1/(z+1)
    　　1/(z+1) = 1/(z-1+2) = (1/2)( 1/(1+(z-1)/2) )
    　ここからなんとかして 1/(z+1) を (z-1)^n で表したいのですが、行き詰まってしまいました。
    　どうしたらいいでしょ？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50477 / ResNo.1) 　Re[1]: 1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。
□投稿者/ WIZ 一般人(11回)-(2020/08/25(Tue) 21:32:11)
    1/(1+(z-1)/2) = 1-(z-1)/2+((z-1)/2)^2-((z-1)/2)^3+・・・ = Σ[k=0,∞]{(-(z-1)/2)^k}
    だから、
    1/(z^2-1) = (1/(z-1))(1/2)(1/(1+(z-1)/2)) = Σ[k=0,∞]{((1/2)^(k+1))((-1)^k)((z-1)^(k-1))}
    だと思います。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50478 / ResNo.2) 　Re[2]: 1/(z^2-1) を z = 1 でローラン展開する。
□投稿者/ Megumi 一般人(2回)-(2020/08/25(Tue) 22:04:50)
    　ありがとうございました。助かりました！
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50473 / 親記事) 　無限等比級数について
□投稿者/ あすなろ 一般人(1回)-(2020/08/25(Tue) 11:45:35)
    　変な質問ですみませんが、等比数列の和を教科書のスタイルと違って

    　　 rS_[n] =　　 ar + ar^2 + ･･･････ + ar^(n-1) + ar^n
    　　 -S_[n] = a + ar + ar^2 + ･･･････ + ar^(n-1)
    　　-----------------------------------------------------
    　　(r-1)S_[n] = ar^n - a = a(r^n-1)
    　　S_[n] = a(r^n-1)/(r-1)
    　　　　　= ar^n/(r-1) - a/(r-1)

    としたときも、無限等比級数は |r| < 1 のとき
    　　- a/(r-1) = a/(1-r)
    に収束すると考えていいのですよね？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50474 / ResNo.1) 　Re[1]: 無限等比級数について
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2020/08/25(Tue) 12:53:58)
    どのように導き出すかとは関係なくa(1-r)に収束します。
    もちろんそのように導き出しても問題ありません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50475 / ResNo.2) 　Re[2]: 無限等比級数について
□投稿者/ あすなろ 一般人(2回)-(2020/08/25(Tue) 19:41:14)
    　回答まことにありがとうございました。安心しました。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50470 / 親記事) 　cosの不等式
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(1回)-(2020/08/23(Sun) 12:00:02)
    xが実数のとき
    |cos(x)|+|cos(2x)|+|cos(4x)|＞1

    ってどうやって証明するのでしょうか？
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50471 / ResNo.1) 　Re[1]: cosの不等式
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)
    f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
    f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
    f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
    0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
    また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
    f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
    π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)＞1を言えば十分。
    この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
    π/4≦x＜3π/8でh(x)＜0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
    f(x)+g(x)+h(x)は
    π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
    cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
    π/4≦x＜3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2

    π/4≦x＜3π/8の場合
    cosxはπ/4≦x＜3π/8で減少関数であり
    cos(π/4)=√2/2＜3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2＞3/8なので3/8＜t＜3/4
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
    =(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512＞1

    3π/8≦x≦π/2の場合
    cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
    cos(3π/8)=√(2-√2)/2＜2/5, cos(π/2)=0なので0≦t＜2/5
    このとき
    f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
    =8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625＞1

    従ってf(x)+g(x)+h(x)＞1は常に成り立つ。

    # もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50472 / ResNo.2) 　Re[2]: cosの不等式
□投稿者/ 高校数学を忘れた人 一般人(2回)-(2020/08/23(Sun) 15:28:04)
    凄過ぎる解答をこんなにも早くありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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■50463 / 親記事) 　期待値
□投稿者/ バンダイ 一般人(1回)-(2020/08/16(Sun) 11:59:44)
    ガチャポンの中に
    マンガAのフィギュアが3種類1個ずつ
    アニメBのフィギュアが3種類1個ずつ
    ゲームCのフィギュアが3種類1個ずつ
    の合計9個の景品が入っている
    1回100円である
    太郎くんはA,B,C全てのオタクであるが
    お母さんにお小遣いをねだる立場なので
    A,B,Cのどれかひとつが3種類全て出た
    らやめようと考えた
    太郎くんがガチャに費やす金額の期待値は？

    教えて下さい
    よろしくお願いします
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]
■50464 / ResNo.1) 　Re[1]: 期待値
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2020/08/16(Sun) 13:48:19)
    1回で1種類
    2回以降、2種類目が出る確率は8/9なので
    2種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8
    同様に
    3種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8+9/7=191/56
    4種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8+9/7+9/6=275/56
    5種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8+9/7+9/6+9/5=1879/280
    6種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8+9/7+9/6+9/5+9/4=2509/280
    7種類目が出るまでの回数の期待値は1+9/8+9/7+9/6+9/5+9/4+9/3=3349/280
    全体で7種類出ればA,B,Cの少なくとも一つは3種類揃うのでこれ以上考える必要はない
    3種類目までで同じシリーズの3種類が揃う確率は
    (3C3×3C0×3C0×3)/9C3=3/9C3
    4種類目までで同じシリーズの3種類が揃う確率は
    (3C3×3C1×3C0×3!)/9C4=18/9C4
    5種類目までで同じシリーズの3種類が揃う確率は
    (3C3×3C2×3C0×3!+3C3×3C1×3C1×3)/9C5=45/9C5
    6種類目までで同じシリーズの3種類が揃う確率は
    (3C3×3C3×3C0×3+3C3×3C2×3C1×3!)/9C6=57/9C6
    7種類目までで同じシリーズの3種類が揃う確率は
    (3C3×3C3×3C1×3+3C3×3C2×3C2×3)/9C7=36/9C7=1
    なので
    ちょうど3種類目で同じシリーズの3種類が揃う確率は
    3/9C3=1/28
    ちょうど4種類目で同じシリーズの3種類が揃う確率は
    18/9C4-3/9C3=3/28
    ちょうど5種類目で同じシリーズの3種類が揃う確率は
    45/9C5-18/9C4=3/14
    ちょうど6種類目で同じシリーズの3種類が揃う確率は
    57/9C6-45/9C5=9/28
    ちょうど7種類目で同じシリーズの3種類が揃う確率は
    1-57/9C6=9/28
    従って一つのシリーズの3種類が揃うまでの回数の期待値は
    191/56×1/28+275/56×3/28+1879/280×3/14+2509/280×9/28+3349/280×9/28=2467/280
    なので、金額の期待値は
    2467/280×100=12335/14≒881円

引用返信/返信 [メール受信/OFF]
■50465 / ResNo.2) 　Re[2]: 期待値
□投稿者/ バンダイ 一般人(2回)-(2020/08/16(Sun) 15:04:55)
    ご回答ありがとうございます
    これから詳しく読ませていただきますが
    答えだけ見ると意外と9回近くガチャ回さないと
    そろわないのですね
    ありがとうございました！
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF]
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