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■50458 / 親記事)

　複素平面上の円

□投稿者/ なたり一般人(2回)-(2020/08/15(Sat) 11:48:57)

$2$ \left| z-(2+i) \right| = 3$
から
$2$ \left| z + \frac{\triangle}{\triangle} \left( \triangle + i \right) \right| = \frac{\triangle}{ \sqrt{ \triangle}} \left| z \right|$
へ同値変形するのに大変てまどっています。
教えて下さい。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50462 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素平面上の円

□投稿者/ X 一般人(7回)-(2020/08/16(Sun) 00:27:23)

以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。

|z-(2+i)|=3 (A)
が
|z+b(c+i)|=a|z| (B)
(a,b,cは実数、a＞0)
の形に同値変形できるとします。
(B)より
|z+b(c+i)|^2=(a|z|)^2
{z+b(c+i)}・\{z+b(c+i)}=(a|z|)^2
{z+b(c+i)}・{\z+b(c-i)}=(a|z|)^2
|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+c^2+1=(a|z|)^2
(1-a^2)|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+(c^2+1)b^2=0 (B)'
一方（A)から同様にして
|z|^2-(2-i)z-(2+i)\z-4=0 (A)'
(A)'(B)が等価なので、係数について
b(c-i)/(1-a^2)=-2+i (C)
b(c+i)/(1-a^2)=-2-i (D)
{(c^2+1)b^2}/(1-a^2)=-4 (E)
(C)(D)において複素数の相等の定義により
bc/(1-a^2)=-2 (F)
b/(1-a^2)=-1 (G)
(F)÷(G)より
c=2
これを(E)に代入して
(b^2)/(1-a^2)=-4/5 (E)'
(E)'÷(G)より
b=4/5
これを(G)に代入して
a=3/√5

以上から(A)は
|z+(4/5)(2+i)|=(3/√5)|z|
に同値変形できます。

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■50467 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素平面上の円

□投稿者/ なたり一般人(3回)-(2020/08/17(Mon) 07:21:18)

手際よい変形の仕方そのものを教えていただき有難うございました。

解決済み!

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■50438 / 親記事)

　分数関数の積分

□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2020/08/12(Wed) 09:32:08)

∫(x-2)/(x^2-x)dxの積分ですが、教科書だと(x-2)/(x^2-x)=a/x+b/(x-1)とおいて、a,bを求めているのですが、私は、置換積分で、x^2-x=tとおいて解こうとしましたが、うまくいきません。置換積分で解くことはできますか。よろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50439 / ResNo.1)

　Re[1]: 分数関数の積分

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2020/08/12(Wed) 14:26:30)

x^2/(x-1)=tとおくと
x(x-2)/(x-1)^2 dx=dt
(x-2)/(x^2-x)・x^2/(x-1) dx = dt
(x-2)/(x^2-x)・t dx = dt
(x-2)/(x^2-x) dx = dt/t
∴∫(x-2)/(x^2-x) dx = ∫dt/t = log|t|+C = log|x^2/(x-1)|+C

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■50440 / ResNo.2)

　Re[2]: 分数関数の積分

□投稿者/ waka 一般人(2回)-(2020/08/12(Wed) 20:13:09)

ありがとうございました。
これは自分には気づかない気がします。
教科書のようにやった方がいいですかね。

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■50427 / 親記事)

　ベクトル解析のスカラー場について

□投稿者/ Fav. 一般人(2回)-(2020/08/05(Wed) 21:47:04)

xyz空間内のスカラー場f,ℊと領域Dについて
∫∫∫D(f∇^2ℊ-ℊ∇^2f)dV=∫∫∂D(f grad ℊ-ℊ grad　f)・dS
を示せという問題も分からなくて困っています。
お願いします！
ガウスの法則とdiv(fu)=(grad f)・u+f(div u)という式を使うらしいのですがどう使うのかがわかりません

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50429 / ResNo.1)

　Re[1]: ベクトル解析のスカラー場について

□投稿者/ X 一般人(3回)-(2020/08/05(Wed) 21:58:26)

2020/08/05(Wed) 22:02:31 編集(投稿者)

ガウスの法則ではなくてガウスの発散定理ですね。

証明すべき等式において
&#8458
を
φ
と解釈して方針を。

ガウスの発散定理により
(右辺)=∫∫∫[D]div(fgradφ-φgradf)dV
=∫∫∫[D]{div(fgradφ)-div(φgradf)}dV
後は{}内の第一項、第二項それぞれに対して
アップされている等式である
div(f↑u)=(grad f)・↑u+f(div↑u)
を適用します。

等式の適用で混乱しているかもしれないので
ヒントとして念のため書いておきますが
grad f、gradφ
はベクトルです。

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■50432 / ResNo.2)

　Re[2]: ベクトル解析のスカラー場について

□投稿者/ 絶対といてやるマン一般人(2回)-(2020/08/08(Sat) 03:04:28)

理解できました。
ありがとうございます！！

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■50408 / 親記事)

　無限和

□投稿者/ ai 一般人(1回)-(2020/07/12(Sun) 16:28:28)

こちらの問題解ける方、お願いします

336×196 => 250×145

1594538908.png/17KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50415 / ResNo.1)

　Re[1]: 無限和

□投稿者/ WIZ 一般人(4回)-(2020/07/21(Tue) 19:12:47)

s(x) = Σ[n=0, ∞]{x^(3n)} とおくと、等比級数の和より
s(x) = lim[n→∞]{(1-x^(3(n+1)))/(1-x^3)} です。
よって、|x| < 1 ならば、s(x) = 1/(1-x^3) となります。

F(x) = ∫s(x)dx = Σ[n=0, ∞]{(x^(3n+1))/(3n+1)} とおきます。
すると、求める無限和の値は -lim[x→-1]F(x) となります。

F(x) = ∫{1/(1-x^3)}dx
= (1/3)∫{1/(1-x)+(2+x)/(1+x+x^2)}dx
= (1/3)∫{1/(1-x)}dx+(1/3)∫{((1/2)(1+2x)+(3/2))/(1+x+x^2)}dx
= -(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/2)∫{1/(3/4+(x+1/2)^2)}dx

x+1/2 = ((√3)/2)u とおくと、dx = ((√3)/2)du なので、上記最後の積分は

(1/2)∫{1/(((√3)/2)^2+((√3)u/2)^2)}((√3)/2)du
= (1/√3)∫{1/(1+u^2)}du
= (1/√3)arctan(u)
= (1/√3)arctan((2x+1)/√3)

よって、
-lim[x→-1]F(x)
= -lim[x→-1]{-(1/3)log(|x-1|)+(1/6)log(|1+x+x^2|)+(1/√3)arctan((2x+1)/√3)}
= (1/3)log(|(-1)-1|)-(1/6)log(|1+(-1)+(-1)^2|)-(1/√3)arctan((2*(-1)+1)/√3)
= (1/3)log(2)-(1/6)log(1)-(1/√3)arctan(-1/√3)
= (1/3)log(2)+(1/√3)(π/6)

計算間違いしているかも知れませんので、スレ主さんの方でよく検算してみてください。

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■50416 / ResNo.2)

　Re[2]: 無限和

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2020/07/21(Tue) 19:16:20)

↓こちらによると
ttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5En%2F%283n%2B1%29%2Cn%3D0+to+inf&lang=ja
解はlog2/3+π/(3√3)らしいです。

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■50374 / 親記事)

　数列の一般項

□投稿者/ がじゅまる一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 19:27:16)

a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
解き方を教えてください。よろしくお願いします。

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■50375 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の一般項

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2020/06/17(Wed) 03:08:44)

a[n]=2b[n]とおくと
b[1]=3/2, b[n+1]=4(b[n])^3-3b[n]
cosh(3x)=4(coshx)^3-3coshxなので
x=arccosh(3/2)とおけば
b[n]=cosh(3^(n-1)x)
arccosh(3/2)=log((3+√5)/2)なので
b[n]=cosh(3^(n-1)log((3+√5)/2))
=cosh(log{((3+√5)/2)^(3^(n-1))})
={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+1/((3+√5)/2)^(3^(n-1))}/2
={((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))}/2
∴a[n]=2b[n]=((3+√5)/2)^(3^(n-1))+((3-√5)/2)^(3^(n-1))

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■50378 / ResNo.2)

　Re[1]: 数列の一般項

□投稿者/ bon 一般人(1回)-(2020/06/18(Thu) 10:31:01)

■No50374に返信(がじゅまるさんの記事)
> a(1)=3,a(n+1)=a(n)^3-3a(n)という漸化式の数列の一般項を求める問題です。
> 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

らすかる氏の頭脳明晰に慄く ....
がじゅまる様；どのような書籍に　そのような　非線型漸化式が解説してありますか?
他の　非線型漸化式問題達を　提示ください;

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