数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 42]

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■50356 / 親記事)

　解析学

□投稿者/ 通りすがり一般人(1回)-(2020/06/02(Tue) 22:56:02)

答えだけでなく、途中式も教えていただけると嬉しいです。

1125×396 => 250×88

5AD62C3B-CB7C-4025-9246-A413263C2FF0.jpeg/90KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50357 / ResNo.1)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2020/06/03(Wed) 18:11:13)

[2]のみ解説します。

(1)
x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。
逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。

f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2))
⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2)
0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。

⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2
⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2

x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、
⇒ 1/tan(f(x)) = x

1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。
また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。
・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。
x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。

ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、
tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x))
なので、
⇒ tan(π/2-f(x)) = x
⇒ π/2-f(x) = Arctan(x)
⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)

よって、C = π/2 となります。
上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。

(2)
g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。
g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。
g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。

y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、
tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、
g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y))
(d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)

0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、
よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。
また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。

以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。

# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!

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■50368 / ResNo.2)

　Re[1]: 解析学

□投稿者/ nomi 一般人(1回)-(2020/06/16(Tue) 01:08:01)

[1]の(1) のみヤリマス　[他は　ご自分で!]
(-Log[2]+Log[3]/2)+1/8 (-4 Log[2]^2+Log[3]^2) x+O[x]^2 で　コタエ」；-Log[2]+Log[3]/2=-(1/2) Log[4/3]

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■50335 / 親記事)

　最小公倍数とはちがいますが。。

□投稿者/ KK 一般人(1回)-(2020/05/23(Sat) 21:29:10)

二つ以上の数の倍数に誤差を指定して最小の倍数を求めたいです。

例えば、7と10。最小公倍数は70ですが、この二つの倍数の誤差が1以下の最小の倍数は21となるような。

どう計算したらよいのでしょう？教えてください。

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■50336 / ResNo.1)

　Re[1]: 最小公倍数とはちがいますが。。

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2020/05/24(Sun) 18:11:50)

誤差が1以下の場合は7x-10y=1と7x-10y=-1を解いて
小さい方にすればよいと思いますが、
一般に「誤差がn以下」だとしたら
「誤差が1」「誤差が2」「誤差が3」・・・「誤差がn」について
値を求めてそのうちの最小をとるしかないような気がします。
7と10では値が小さくて暗算できてしまいますので、
29と63にして「誤差4以下」の場合を考えます。
29x-63y=1のときユークリッドの互除法により
29(x-2y)-5y=1
5(6(x-2y)-y)-(x-2y)=1
5(6x-13y)-(x-2y)=1
6x-13y=1,x-2y=4とすると(x,y)=(50,23)
と求まります。この先はこの結果を使って
29x-63y=-1のとき(x,y)=(-50,-23)+(63,29)=(13,6)
29x-63y=2のとき(x,y)=(50,23)×2-(63,29)=(37,17)
29x-63y=-2のとき(x,y)=(13,6)×2=(26,12)
29x-63y=3のとき(x,y)=(37,17)+(50,23)-(63,29)=(24,11)
29x-63y=-3のとき(x,y)=(13,6)×3=(39,18)
29x-63y=4のとき(x,y)=(24,11)+(50,23)-(63,29)=(11,5)
29x-63y=-4のとき(x,y)=(13,6)×4=(52,24)
従って最小は29x-63y=4のときの(x,y)=(11,5)ですから、
29×11=319,63×5=315が誤差4以下最小公倍数になります。

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■50355 / ResNo.2)

　Re[2]: 最小公倍数とはちがいますが。。

□投稿者/ KK 一般人(2回)-(2020/06/01(Mon) 13:51:10)

大変参考になりました。
ありがとうございます。

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■50331 / 親記事)

　消火栓からの流量を何立米/sにしたら良いのでしようか？水理学、流体力学

□投稿者/ 疑問一般人(1回)-(2020/05/23(Sat) 06:45:31)

お疲れ様です。相当素人です。消火栓内径65mmから100立米のタンクに入れるのに何分かかるか計算したいのですが、まず、消火栓が設置してある本設管路内径150mmの水圧は0.5mpa。そこから分岐してある消火栓内径65mm。分岐から、消火栓と消火栓ホース内径65mmの長さは10m。本設管路150mmの平均流速は0.2m/sに抑えたいので、0.2m/sとする。消火栓からの流量をどれくらいにしたら、本設菅路の流速が0.2m/sに抑えることが出来るか。そして、消火栓からの流量がある程度をわかれば、タンクに入れるのにかかる時間がわかるはずなので。消火栓とか消火栓ホースの損失は無視して問題はありません。それはそれで、考えないといけないので。よろしくお願いいたします。

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■50332 / ResNo.1)

　Re[1]: 消火栓からの流量を何立米/sにしたら良いのでしようか？水理学、流体力学

□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2020/05/23(Sat) 06:51:04)

流体力学とか全くわかりませんが、数学的に単純に考えると
消火栓ホース内径65mmの断面積は約13273mm^2
本設管路150mmの断面積は約70686mm^2
これは消火栓ホースの断面積の5.325倍なので
流速を0.2×5.325=1.065m/sにすればよいと思います。

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■50333 / ResNo.2)

　Re[2]: 消火栓からの流量を何立米/sにしたら良いのでしようか？水理学、流体力学

□投稿者/ 疑問一般人(2回)-(2020/05/23(Sat) 09:59:08)

まさにそのとおりですね。
それを流量に直す公式を使えば答えが出ます。
疑問が消えました。
本当にありがとうございました。

■No50332に返信(らすかるさんの記事)
> 流体力学とか全くわかりませんが、数学的に単純に考えると
> 消火栓ホース内径65mmの断面積は約13273mm^2
> 本設管路150mmの断面積は約70686mm^2
> これは消火栓ホースの断面積の5.325倍なので
> 流速を0.2×5.325=1.065m/sにすればよいと思います。
>

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■50329 / 親記事)

　三次方程式

□投稿者/ ニーレンベルギア一般人(1回)-(2020/05/23(Sat) 02:00:32)

x^3-2x+√(7√3 -12)=0
の解き方を教えて下さい。

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■50330 / ResNo.1)

　Re[1]: 三次方程式

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2020/05/23(Sat) 04:34:02)

√(7√3-12)=(√√3)√(7-4√3)=(√√3)(2-√3)　※√√3=3^(1/4)
√√3=aとおくと√(7√3-12)=a(2-a^2)=-a^3+2a
x^3-2x+√(7√3-12)=0
x^3-2x-a^3+2a=0
(x^3-a^3)-2(x-a)=0
(x-a)(x^2+ax+a^2)-2(x-a)=0
(x-a)(x^2+ax+a^2-2)=0
∴x=a,{-a±√(8-3a^2)}/2=√√3,{-√√3±√(8-3√3)}/2

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■50334 / ResNo.2)

　Re[2]: 三次方程式

□投稿者/ ニーレンベルギア一般人(2回)-(2020/05/23(Sat) 11:16:22)

有り難うございました。

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■50315 / 親記事)

　正三角形と半円

□投稿者/ インター一般人(1回)-(2020/04/18(Sat) 21:10:57)

面積が2の正三角形の内部に面積が1の半円をおくことができますか？