数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 43]

数学ナビゲーター掲示板

★ google検索	★ 掲示板備え付けのログ検索
この掲示板の過去ログをgoogleで検索します。	検索条件: 現在のログを検索過去のログを検索

■ 2006/2/20より、累計：

、本日：

、昨日：

■ 数式の記述方法
■TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。文字化けが発生したときはここを見てください。
■ 質問をする方は、回答者に失礼のないようにお願いします。
■ 携帯電話でこの掲示板を見れるようにしました。⇒ここを見てください。
■ 24時間以内に作成されたスレッドは

で表示されます。
■ 24時間以内に更新されたスレッドは

で表示されます。

更新順

投稿順

記事リスト ( )内の数字はレス数

フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

確率における情報(17) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

素数(6) |

順列組合せ～区別するものしないもの(6) |

三角形の辺の長さ(6) |

極形式(6) |

フェルマーの最終定理の証明(6) |

複数の点によって構成される多角形を相互の距離情報から類推する方法(6) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

積と和が一致する自然数の組(5) |

複素数の関数(5) |

素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理(5) |

係数(4) |

確率(4) |

Lambert W関数を用いた数式(4) |

極限(3) |

積分(3) |

素数(3) |

角度(3) |

極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

確率(2) |

速度(2) |

質問(2) |

■50312 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ グルンカ一般人(1回)-(2020/04/17(Fri) 22:58:40)

nが2以上の自然数のとき、
Σ[k=1,n-1]1/sin(kπ/n)＜n*log(n)
であることの証明を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50313 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(24回)-(2020/04/18(Sat) 01:52:47)

0＜x＜π/2でsinx＞(2/π)xが成り立つ。
nが奇数のとき
Σ[k=1～n-1]1/sin(kπ/n)
＝2Σ[k=1～(n-1)/2]1/sin(kπ/n)
＜2Σ[k=1～(n-1)/2]1/{(2/π)(kπ/n)}
＝nΣ[k=1～(n-1)/2]1/k
＜n(∫[1/2～(n-1)/2+1/2]dx/x)
＝n{log(n/2)-log(1/2)}
＝nlogn
nが偶数のとき
Σ[k=1～n-1]1/sin(kπ/n)
＝1+2Σ[k=1～n/2-1]1/sin(kπ/n)
＜1+2Σ[k=1～n/2-1]1/{(2/π)(kπ/n)}
＝1+nΣ[k=1～n/2-1]1/k
＜1+n(∫[1/2～n/2-1+1/2]dx/x)
＝1+n{log((n-1)/2)-log(1/2)}
＝1+nlog(n-1)
＜nlogn　(※)

(※)
1+nlog(n-1)＜nlognは、
f(x)=xlogx-(1+xlog(x-1))とおくと
f'(x)＜0, lim[x→∞]f(x)=0となることから言えます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50314 / ResNo.2)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ グルンカ一般人(2回)-(2020/04/18(Sat) 10:03:39)

ありがとうございます。
全然分からなかったのでとても助かりました。
一行目の不等式がポイントですね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50272 / 親記事)

　正射影：正三角形→2等辺三角形

□投稿者/ あすなろ一般人(1回)-(2020/04/09(Thu) 00:53:32)

図の問題を教えてください。
射影された面積はすぐわかりますがcosθの求め方がさっぱりです。
1辺がaの正三角形が、底辺1、2等辺が2の2等辺三角形になるわけですから、まず2等辺を維持しながら2辺のaが2になるような傾きは想像できるのですが、それから底辺を1にする傾きがわかりません。

734×403 => 250×137

1586361212.png/178KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50273 / ResNo.1)

　Re[1]: 正射影：正三角形→2等辺三角形

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2020/04/09(Thu) 02:45:05)

B'C'=C'A'になるということはAB方向に縮みますので
「CからABに下した垂線の長さ」＝「C'からA'B'に下した垂線の長さ」
となりますね。
この垂線の長さは√{2^2-(1/2)^2}=√15/2ですから
a=√15/2・2/√3=√5とわかります。
cosθはA'B'/AB=1/√5となりますね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50274 / ResNo.2)

　Re[2]: 正射影：正三角形→2等辺三角形

□投稿者/ あすなろ一般人(2回)-(2020/04/09(Thu) 06:08:11)

　おお、ありがとうございます。助かりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50264 / 親記事)

　三角形

□投稿者/ 京都産業クラスター一般人(1回)-(2020/03/31(Tue) 21:50:54)

平面上に点O,A,B,Cがあり、
OA=22
OB=7
OC=27
AB=16
BC=23
でAとCはOBに関して反対にあるとき
ACと30の大小を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50265 / ResNo.1)

　Re[1]: 三角形

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2020/03/31(Tue) 23:26:06)

三角関数は使って大丈夫ですか？
cos∠OBA=(OB^2+AB^2-OA^2)/(2*OB*BA)=-179/224
sin∠OBA=√{1-(cos∠OBA)^2}=3√2015/224
cos∠OBC=(OB^2+BC^2-OC^2)/(2*OB*BC)=-151/322
sin∠OBC=√{1-(cos∠OBC)^2}=3√8987/322
cos∠ABC=cos(∠OBA+∠OBC)
=cos∠OBA*cos∠OBC-sin∠OBA*sin∠OBC
=(27029-9√18108805)/72128
∴AC=√(AB^2+BC^2-2*AB*BC*cos∠ABC)
=√{(49901+9√18108805)/98}
「√{(49901+9√18108805)/98} と 30 の大小関係」
⇔「(49901+9√18108805)/98 と 900 の大小関係」
⇔「49901+9√18108805 と 88200 の大小関係」
⇔「9√18108805 と 38299 の大小関係」
⇔「81*18108805 と 38299^2 の大小関係」
⇔「1466813205 と 1466813401 の大小関係」
なので
√{(49901+9√18108805)/98}＜30
すなわちAC＜30
実際の値は29.9999995648…

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50266 / ResNo.2)

　Re[2]: 三角形

□投稿者/ 京都産業クラスター一般人(2回)-(2020/04/01(Wed) 00:24:15)

ありがとうございます。
とても助かりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▼下のスレッド / ▲上のスレッド

■50254 / 親記事)

　数列の疑問

□投稿者/ JOC理事一般人(1回)-(2020/03/20(Fri) 09:32:16)

a[0]=1
b[0]=0
a[n+1]=(1/3)a[n]+(1/3)b[n]
b[n+1]=(2/3)a[n]+(1/3)b[n]

p[0]=0
q[0]=0
r[0]=1
p[n+1]=(1/3)p[n]+(1/3)q[n]
q[n+1]=(2/3)p[n]+(1/3)q[n]+(2/3)r[n]
r[n+1]=(1/3)q[n]+(1/3)r[n]

とします。

r[n]-(1/3)Σ[k=0,n-1]b[k]r[n-1-k]

の値は何になるのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50255 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の疑問

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2020/03/21(Sat) 06:53:05)

上の漸化式を解くと
b[n]={((1+√2)/3)^n-((1-√2)/3)^n}/√2
下の漸化式を解くと
r[n]={1+2(1/3)^n+(-1/3)^n}/4
これを代入して計算して整理しまくったら
(与式)=(1/3)^nとなりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50259 / ResNo.2)

　Re[2]: 数列の疑問

□投稿者/ JOC理事一般人(2回)-(2020/03/21(Sat) 13:52:51)

有り難うございます。
とても助かりました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

■記事リスト / ▲上のスレッド

■50248 / 親記事)

　eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(1回)-(2020/03/16(Mon) 11:56:12)

tを実数とするとき
lim[n→∞]n{e^t-(1+t/n)^n}
の求め方を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50249 / ResNo.1)

　Re[1]: eの極限

□投稿者/ m 一般人(6回)-(2020/03/16(Mon) 20:10:53)

$2$e^x$ を $2$\exp (x)$ と書きます。

$2$x = 1/n$ と置き換えることで
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x}$
を求めればokです。

ロピタルを使えば機械的にできます。
分子分母をそれぞれ一回微分すれば
$2$ \frac{(e^t - \exp(1/x \log (1+tx)) )'}{x'} = - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} \times \exp (1/x \log (1+tx))$

ここで
$2$ \exp (1/x \log (1+tx)) = (1+tx)^{1/x} \to e^t$

だから $2$\times$ の前の極限を求めたい。分子分母に $2$t^2$ をかけて $2$y = tx$ と置き換えれば、
$2$ - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} = -t^2 \frac{(y/(1+y) - \log (1+y))}{y^2}$

ここで、もう一回ロピタル（=分子分母二階微分）すれば
$2$ \cdots = -t^2 \frac{-2/(1+y)^3 + 1/(1+y)^2}{2} \to \frac{t^2}{2}$

よって
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x} = \frac{t^2 e^t}{2}$

つまり
$2$ \lim_{n \to \infty} n(e^t - (1+t/n)^n) = \frac{t^2 e^t}{2}$

途中 $2$t^2$ を分母にかけるので $2$t=0$ は別途考える必要があります。
でも $2$t=0$ なら極限は $2$0$ になって、この場合も上の形になることがいえます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50250 / ResNo.2)

　Re[2]: eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(2回)-(2020/03/17(Tue) 13:54:01)

ありがとうございました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

＜前のスレッド5件 | 次のスレッド5件＞

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター