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大学数学 4次多項式 フェラーリの解法
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□投稿者/ yusuke 一般人(1回)-(2021/01/31(Sun) 23:39:30)
 | 4次多項式f(X)=X4+pX2+qX+rの根をw1,...,w4 とし、 t1= w1w4 +w2w3, t2= w1w3 +w2w4, t3= w1w2 +w3w4とおく。
(1) t1, t2, t3 を根とする 3 次多項式 g(T ) を作り、その係数を f の係数 p, q, r で表せ。
(2)フェラーリの解法で現れる f の 3 次分解式と、上の g(T) とを比べよ。
(3) f の判別式 D(f) と、g の判別式 D(g) とを比べよ。
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Re[1]: 大学数学 4次多項式 フェラーリの解法
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□投稿者/ WIZ 一般人(3回)-(2021/05/28(Fri) 21:22:00)
| 計算が煩雑になるので以下のように文字を変更します。
f(x) = x^4+p(x^2)+qx+r = 0 の根を a, b, c, d とします。
t = ad+bc, u = ac+bd, v = ab+cd とおきます。
f(x) = 0 の根と係数の関係より、
0 = a+b+c+d
p = ab+ac+ad+bc+bd+cd
-q = abc+abd+acd+bcd
r = abcd
です。
(1)
t+u+v = (ad+bc)+(ac+bd)+(ab+cd) = p
tu = (ad+bc)(ac+bd) = aacd+abdd+abcc+bbcd
tv = (ad+bc)(ab+cd) = aabd+acdd+abbc+bccd
uv = (ac+bd)(ab+cd) = aabc+accd+abbd+bcdd
⇒ tu+tv+uv = abc(c+b+a)+abd(d+a+b)+acd(a+d+c)+bcd(b+c+d)
= abc(-d)+abd(-c)+acd(-b)+bcd(-a)
= -4abcd = -4r
tuv = (aacd+abdd+abcc+bbcd)(ab+cd)
= aaabcd+aabbdd+aabbcc+abbbcd+aaccdd+abcddd+abcccd+bbccdd
= (aabbdd+aabbcc+aaccdd+bbccdd)+aaabcd+abbbcd+abcddd+abcccd
= {(abd+abc+acd+bcd)^2-2abcd(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abcd(aa+bb+dd+cc)
= {(-q)^2-2pr}+r((a+b+c+d)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd))
= q^2-2pr+r(0^2-2p)
= q^2-4pr
よって、
g(z) = z^3-p(z^2)-4rz+(4pr-q^2)
(2)
x^4+p(x^2)+qx+r = 0
⇒ x^4 = -p(x^2)-qx-r
⇒ x^4+z(x^2)+(z^2)/4 = (-p(x^2)-qx-r)+z(x^2)+(z^2)/4
⇒ (x^2+z/2)^2 = (z-p)(x^2)-qx+((z^2)/4-r)
上記右辺が完全平方、つまり右辺の x の2次式の判別式が0になるように z を定める。
(-q)^2-4(z-p)((z^2)/4-r) = 0
⇒ q^2-(z-p)(z^2-4r) = 0
⇒ z^3-p(z^2)-4rz+(4pr-q^2) = 0
よって、(1)で求めた g(z) と一致する。
(3)
判別式は2根の差の積の平方で、根の対象式となります。
D(f) = {(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)}^2
D(g) = {(t-u)(t-v)(u-v)}^2
ここで、
t-u = (ad+bc)-(ac+bd) = (a-b)(d-c)
t-v = (ad+bc)-(ab+cd) = (a-c)(d-b)
u-v = (ac+bd)-(ab+cd) = (a-d)(c-b)
なので、
D(g) = D(f)
と言えます。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25)
