数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 67]

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大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

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■50657 / 親記事)

　円と3次関数

□投稿者/ sage 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 23:06:46)

xy平面上の様々の3次関数のうち
x^2+y^2≦1
との共通部分の長さが6より
大きくなるものは存在しますか？

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▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50658 / ResNo.1)

　Re[1]: 円と3次関数

□投稿者/ らすかる一般人(14回)-(2021/03/08(Mon) 03:35:27)

存在します。
y=4000001000.001x^3-3000x は単位円とちょうど2点で交わり、
内部の長さが約6.00000017275です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50659 / ResNo.2)

　Re[2]: 円と3次関数

□投稿者/ sage 一般人(2回)-(2021/03/08(Mon) 09:56:16)

ありがとうございます。
それはらすかる様が見つけられたもの
の中で最も長いものなのでしょうか？

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■50660 / ResNo.3)

　Re[3]: 円と3次関数

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2021/03/08(Mon) 10:14:05)

2021/03/08(Mon) 11:46:52 編集(投稿者)

計算したいくつかの候補の中では最大です。
y=ax^3-bxという形に絞り、bの値を決めて条件を満たすような最小のaを調べ、
そのときの長さを計算する、という手順で探しましたが、
計算した中で条件を満たすb=3000,6000,8000,10000の中ではb=3000のときが最大でした。
b≦1000では6を超えないであろうこともわかっていますし、bは大きくてもダメなので
1000＜b＜6000の中に最大値があるのではないかと思っています。
b=2500とかb=3500などを計算すれば、もう少し大きいものは見つけられると思いますが、
いずれにしても6.00000…にはなると思います。

(追記)
気になったので調べました。
y=799946654.2808x^3-1754.3712186x
の場合に約6.00000024368となりました。
「最大になるのはy=ax^3-bxという形のとき」が
正しければ、このあたりが最大値になると思います。

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■50661 / ResNo.4)

　Re[4]: 円と3次関数

□投稿者/ sage 一般人(3回)-(2021/03/08(Mon) 19:45:42)

ありがとうございました。
とても参考になりました。

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■50651 / 親記事)

　Σと積分の交換

□投稿者/ 7610 一般人(1回)-(2021/03/07(Sun) 17:38:54)

　　∑[k:1～N]∫[x:-π～π]f(x)cos(kx)dx

　= ∫[x:-π～π]f(x)cos(x)dx + ∫[x:-π～π]f(x)cos(2x)dx + …

　= ∫[x:-π～π]f(x)dx∑[k:1～N]cos(kx)

という変形は可能ですか？

　可能ならば証明したいのですが

　　∫f(x)cos(kx)dx = -sin(kx)f(x) + ∫f'(x)sin(kx)dx

ですから、右辺の第1項は定積分でゼロになるところまではわかりますが、それからがわかりません。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■50654 / ResNo.1)

　Re[1]: Σと積分の交換

□投稿者/ X 一般人(7回)-(2021/03/07(Sun) 18:52:51)

そのような変形はできません。
定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
できないからです。
変形前はxの関数ではないのに、変形後は
xの関数になっているのは明らかに
変ですよね。

但し
∑[k:1～N]∫[x：-π～π]f(x)cos(kx)dx
=∫[x：-π～π]f(x){∑[k:1～N]cos(kx)}dx
であれば、問題ありません。

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■50655 / ResNo.2)

　Re[2]: Σと積分の交換

□投稿者/ 7610 一般人(3回)-(2021/03/07(Sun) 19:01:08)

> 定数でない被積分関数を積分の外に出すことは
できないからです。

ですよねえ。実はさるサイトでもっと複雑なケースの積分だったのですが私自身が勘違いしたのかもしれません。
　素早い回答ありがとうございました。

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■50656 / ResNo.3)

　Re[2]: Σと積分の交換

□投稿者/ 7610 一般人(4回)-(2021/03/07(Sun) 19:43:26)

> 但し
> ∑[k:1～N]∫[x：-π～π]f(x)cos(kx)dx
> =∫[x：-π～π]f(x){∑[k:1～N]cos(kx)}dx
> であれば、問題ありません。
>
＞すみません。まさにこちらでした。ありがとう。

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■50646 / 親記事)

　合成数

□投稿者/ 手計算で・・・一般人(1回)-(2021/03/05(Fri) 17:46:52)

電子機器など何も無い状況下で、紙と鉛筆の手計算だけで
11^10+10
が合成数であることを示すのってどうやるんでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50647 / ResNo.1)

　Re[1]: 合成数

□投稿者/ らすかる一般人(12回)-(2021/03/05(Fri) 18:03:56)

明らかに2で割れない。
11^10≡1, 10≡1 (mod 3) なので3で割れない。
明らかに5で割れない。
11^10≡4^10≡16^5≡2^5=32≡4, 10≡3 (mod 7) なので
11^10+10は7で割り切れる。よって合成数。

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■50648 / ResNo.2)

　Re[2]: 合成数

□投稿者/ 手計算で・・・一般人(2回)-(2021/03/05(Fri) 18:28:23)

おお、なるほど
ありがとうございます

解決済み!

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■50641 / 親記事)

　cos(1)とtan(1/2)

□投稿者/ 紙一般人(1回)-(2021/03/05(Fri) 12:15:47)

cos(1)とtan(1/2)の大小比較はどうやればよいのでしょうか？

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50649 / ResNo.1)

　Re[1]: cos(1)とtan(1/2)

□投稿者/ らすかる一般人(13回)-(2021/03/05(Fri) 18:47:25)

y=cosx,y=tan(x/2)のグラフと
y=cosxに(π/3,cos(π/3))で接する接線、
y=tan(x/2)に(π/3,tan(π/6))で接する接線を考えると
2接線は(√3)(x-π/3)+2y=1と2(x-π/3)-3y+√3=0で
その交点のx座標はx=π/3-(30-17√3)/11
π/3-(30-17√3)/11＜(1/3)(22/7)-(30-17√3)/11
=(357√3-388)/231
(357√3)^2=382347＜383161=619^2から
357√3＜619
357√3-388＜231
(357√3-388)/231＜1
よって2接線の交点のx座標は1より小さい。
y=cosxは0＜x＜π/2で単調減少かつ上に凸なので
(π/3,cos(π/3))で接する接線はy=cosxより右にある。
y=tan(x/2)は0＜x＜π/2で単調増加かつ下に凸なので
(π/3,tan(π/6))で接する接線はy=tan(x/2)より右にある。
従って2接線の交点はy=cosxとy=tan(x/2)の交点より右にあるので、
y=cosxとy=tan(x/2)の交点のx座標は2接線の交点のx座標より小さく、
すなわち1より小さい。
ゆえにy=cosxとy=tan(x/2)は0＜x＜1の範囲内で交わり、
0＜x＜π/2でy=cosxは単調減少、y=tan(x/2)は単調増加なので
x=1においてはtan(x/2)＞cosx。
よってtan(1/2)＞cos(1)。

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■50650 / ResNo.2)

　Re[2]: cos(1)とtan(1/2)

□投稿者/ 紙一般人(2回)-(2021/03/05(Fri) 20:23:03)

ありがとうございます。
思わずグラフをいくつも描いて交点と接線の交点の関係を確認しましたが納得いたしました。
素晴らしいです。

解決済み!

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■50638 / 親記事)

　積分について

□投稿者/ 印度に生まれたい一般人(1回)-(2021/03/04(Thu) 18:57:03)