数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 8]

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フェルマーの最終定理の簡単な証明9(25) |

円を30度回転させた場合の結果が見たい。(17) |

確率における情報(17) |

プログラミング言語BASIC言語について。(14) |

素数(6) |

順列組合せ～区別するものしないもの(6) |

三角形の辺の長さ(6) |

極形式(6) |

フェルマーの最終定理の証明(6) |

複数の点によって構成される多角形を相互の距離情報から類推する方法(6) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

積と和が一致する自然数の組(5) |

複素数の関数(5) |

素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理(5) |

係数(4) |

確率(4) |

Lambert W関数を用いた数式(4) |

極限(3) |

積分(3) |

素数(3) |

角度(3) |

極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

確率(2) |

速度(2) |

質問(2) |

■51959 / 親記事)

　確率

□投稿者/ ピザ一般人(1回)-(2022/10/05(Wed) 11:11:08)

箱の中に1から8の整数が書かれた8個のボールがあり、
2個取り出して、2個の玉に書かれた|整数の差|が1であればその2個は捨て、
|整数の差|が1より大きければ2個とも箱に戻す、という行動を繰り返す。
n回行動をし終えた時点で箱が空になる確率を求めよ。

この問題が解けないので教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51978 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/10/12(Wed) 18:54:03)

求める確率をP[n]とします。

ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
R[8,6]=4/(8C2)=1/7
R[6,4]=3/(6C2)=1/5
R[4,2]=2/(4C2)=1/3
R[2,0]=1
∴箱の中の玉の個数が
l回目の行動の前後で8個から6個に
l+m回目の行動の前後で6個から4個に
なり、
n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
である確率をQ[n,l,m]とすると
Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
=(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n

よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
=(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
=(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
=(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
=(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
=(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)

∴
(i)n≧4のとき
P[n]=R[4,2]q[n-2]
=(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
(ii)n=1,2,3のとき
箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
P[n]=0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51982 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ ピザ一般人(2回)-(2022/10/14(Fri) 10:36:45)

有り難うございます。
感激です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51984 / ResNo.3)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2022/10/18(Tue) 11:26:05)

■No51978に返信(Xさんの記事)
> 求める確率をP[n]とします。
>
> ある1回の行動の前後で箱の中の玉の個数が
> k[個](k=2,4,6,8)からk-2[個]になる確率をR[k,k-2]とすると
> R[8,6]=4/(8C2)=1/7
> R[6,4]=3/(6C2)=1/5
> R[4,2]=2/(4C2)=1/3
> R[2,0]=1
> ∴箱の中の玉の個数が
> l回目の行動の前後で8個から6個に
> l+m回目の行動の前後で6個から4個に
> なり、
> n回目(n≧2)の行動終了まで4個のまま
> である確率をQ[n,l,m]とすると
> Q[n,l,m]={R[8,6](1-R[8,6])^(l-1)}{R[6,4](1-R[6,4])^(m-1)}{1-R[4,2]}^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}(2/3)^(n-l-m)
> ={(1/7)(6/7)^(l-1)}{(1/5)(4/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^(l+m)
> ={(1/7)(9/7)^(l-1)}{(1/5)(6/5)^(m-1)}{(2/3)^n}(3/2)^2
> =(9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
>
> よってn回目の行動後に箱の中に4個の玉がある確率をq[n](n≧2)とすると
> q[n]=Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l]Q[n,l,m]
> =Σ[l=1～n-1]Σ[m=1～n-l](9/140){(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(m-1)}(2/3)^n
> =(9/140){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}}Σ[m=1～n-l](6/5)^(m-1)
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(9/7)^(l-1)}{(6/5)^(n-l)-1}
> =(9/28){(2/3)^n}Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}{(5/6)^(l-1)}(9/7)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{Σ[l=1～n-1]{(5/6){(6/5)^n}(15/14)^(l-1)-(9/7)^(l-1)}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)^n}{(15/14)^(n-1)-1}-(7/2){(9/7)^(n-1)-1}}
> =(9/28){(2/3)^n}{(35/3){(6/5)(9/7)^(n-1)-(6/5)^n}-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/14){(2/3)^(n-1)}{14・(9/7)^(n-1)-14・(6/5)^(n-1)-(7/2)(9/7)^(n-1)+7/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{2・(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)-(1/2)(9/7)^(n-1)+1/2}
> =(3/2){(2/3)^(n-1)}{(3/2)(9/7)^(n-1)-2・(6/5)^(n-1)+1/2}
> ={(2/3)^(n-1)}{(9/4)(9/7)^(n-1)-3・(6/5)^(n-1)+3/4}
> =(9/4)(6/7)^(n-1)-3・(4/5)^(n-1)+(3/4)(2/3)^(n-1)
>
> ∴
> (i)n≧4のとき
> P[n]=R[4,2]q[n-2]
> =(3/4)(6/7)^(n-3)-(4/5)^(n-3)+(1/4)(2/3)^(n-3)
> (ii)n=1,2,3のとき
> 箱を空にするには最低4回問題の行動をする必要があるので
> P[n]=0
> (もっと簡単な方法があるかもしれません。)

1回目に (2,3) が取り出された場合,1 が今後取り出されることがなくなるので箱からすべての玉が取り出されることがなくなります。
この計算では個数のみを気にしていて取り出され方が加味されていないようなので先の例が起こることが加味されていません。
おそらくこの計算よりさらに複雑になります。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51989 / ResNo.4)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/10/20(Thu) 18:17:48)

＞＞nackyさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞ピザさんへ
もう見ていないかもしれませんが、ごめんなさい。
nackyさんの仰る通りです。
私の回答は無視して下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51938 / 親記事)

　大学数学統計学の問題

□投稿者/ 五六七一般人(5回)-(2022/07/26(Tue) 00:41:05)

連投すみません。大学数学統計学の問題です。ご協力よろしくお願い致します。途中式と答えお願いします。

確率変数 X の確率密度関数が次のように与えられている.ただし c は定数とする.

fX (x) = cx 0<x<2
　　　　 0 その他
とする。
(a)c の値を求めよ.(b)P (－1 ≤ X < 1) を求めよ.(c)X の分布関数を求めよ. (d)X の期待値と分散を求めよ.

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51939 / ResNo.1)

　Re[1]: 大学数学統計学の問題

□投稿者/ 五六七一般人(6回)-(2022/07/26(Tue) 00:42:50)

文字化けしている所は、Xは1より小さく、-1以上です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51941 / ResNo.2)

　Re[2]: 大学数学統計学の問題

□投稿者/ こつまにん一般人(2回)-(2022/07/26(Tue) 04:20:27)

見ず知らずのへたれのレポート課題のために誰が「ご協力」するんだよ
こんな問題で思考が停止するとは泣けてくる
勉強の無駄　早く働け

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51943 / ResNo.3)

　Re[3]: 大学数学統計学の問題

□投稿者/ 567 一般人(6回)-(2022/07/29(Fri) 02:14:46)

お前は他の投稿にもこういうコメントしているよな。どんだけ人生充実してないん？あとどんだけ暇なん？お前こそ働けや、たわけ

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51951 / ResNo.4)

　Re[1]: 大学数学統計学の問題

□投稿者/ 時計一般人(1回)-(2022/08/23(Tue) 17:30:34)

(a)∫_{-∞,∞}f(x)dx=1からcを求める。

(b)P (-1<=X<1) =P(X<1)-P(X<-1)
P(X<a)の定義は教科書で確認する。

(c)実数aに対して、累積分布関数F(a)=P(X<a)

(d)期待値m=E(X)=∫_{-∞,∞}xf(x)dx
分散Var(X)=∫_{-∞,∞}(x-m)-2f(x)dx

統計学の講義で何を聞いていたのか甚だ疑問だが、再度使っている教科書の1ページ目から読み直すことを強く勧める。
記号は教科書によりけりだが、私の記号の意味が分からないようであれば（私の用いた記号は統計学では一般的に用いられるものと思っている）再履修し、勉強のやり方そのものを真剣に見直す必要がある。
また、積分計算がわからないようであれば、統計学をやる以前の数学の知識不足なので微積分のテキストを再度勉強しなおすべき。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51910 / 親記事)

　複素数

□投稿者/ 仔犬一般人(1回)-(2022/07/01(Fri) 17:01:03)

教えて下さい。

(z-1)(w-1)=|z|=|w|=1
をみたす複素数z,wを全て求めよ。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51913 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2022/07/01(Fri) 22:29:59)

以下の方針はオイラーの公式を学習済みという前提ですので
注意して下さい。

問題の方程式から
(z-1)(w-1)=1 (A)
|z|=|w|=1 (B)
(B)より
z=e^(ia) (C)
(但し0≦a＜2π (D))
w=e^(ib) (E)
(但し0≦b＜2π (F))
と置くことができます。
(C)(E)を(A)に代入すると
e^{i(a+b)}-e^(ia)-e^(ib)=0
∴e^(ia)-e^{i(a-b)}=1
となるので複素数の相等の定義により
cosa-cos(a-b)=1 (G)
sin(a-b)=0 (H)
(D)(F)より
-2π＜a-b＜2π
∴(H)より
a-b=0,π,-π
(i)a-b=0のとき
(G)より
cosa=2
ゆえ題意を満たす(z,w)の組は存在しません。
(ii)a-b=πのとき
(G)より
cosa=0
∴(C)より
a=π/2,3π/2
となるので(F)より
(a,b)=(3π/2,π/2)
∴(C)(E)から
z=-i,w=i
(iii)a-b=-πのとき
(C)(G)より
a=π/2,3π/2
∴(F)より
(a,b)=(π/2,3π/2)
∴(C)(E)から
z=i,w=-i

以上から
(z,w)=(i,-i),(-i,i)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51914 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ らすかる一般人(7回)-(2022/07/02(Sat) 01:09:14)

(z,w)=(i,-i)のとき
(z-1)(w-1)=(i-1)(-i-1)=2
になると思います。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51916 / ResNo.3)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(5回)-(2022/07/02(Sat) 09:41:03)

＞＞ラスカルさんへ
ご指摘ありがとうございます。
＞＞仔犬さんへ
ごめんなさい、途中で計算を間違えていました。
修正を考えましたが、No.51913の方針では
計算が煩雑になりますので、別の方針で
アップします。

問題の方程式から
(z-1)(w-1)=1 (A)
|z|=1 (B)
|w|=1 (C)
(A)から
zw-z-w=0
(z-1)w=z
∴w=z/(z-1) (A)'
これを(C)に代入し、
|z|/|z-1|=1
更に(B)を代入して
|z-1|=1 (C)'
ここで(B)より
z=cosθ+isinθ (D)
(0≦θ＜2π)
と置くことができるので、（C)'は
(cosθ-1)^2+(sinθ)^2=1
∴-2cosθ+2=1
cosθ=1/2
∴θ=π/3,5π/3
よって(D)より
z=1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2
これらを(A)'に代入して
(z,w)=(1/2+i(√3)/2,1/2-i(√3)/2),(1/2-i(√3)/2,1/2+i(√3)/2)

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51922 / ResNo.4)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ 仔犬一般人(2回)-(2022/07/18(Mon) 22:45:11)

友達に聞いて解決しました。すみませんでした。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■51852 / 親記事)

　必要十分条件

□投稿者/ age 一般人(1回)-(2022/06/02(Thu) 20:53:21)

b^2-4ac≧0 かつ a+b+c＞k*max{a,b,c}
をみたす実数a,b,cが存在するための
実数kに関する必要十分条件ってどうなりますか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■51856 / ResNo.1)

　Re[1]: 必要十分条件

□投稿者/ マシュマロ一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 01:56:45)
http://www/youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

はじめまして。マシュマロと申します。

みたところ、「ｋ＜９／４またはｋ＞４」が必要十分なのではないかと思います。
以下、その説明です。

Ｄ＝ｂ＾２－４aｃ，ｓ＝a＋ｂ＋ｃ，ｍ＝max｛a，ｂ，ｃ｝とおきます。

（１）ｍ＝ｂの場合

この場合、仮にｂ＜０ならばＤ＜０となって条件に反するので
ｂ≧０です。

ｂ＝０のとき、条件を満たすのはaｃ＝０のときで、
このときはｓ≦０かつｍ＝０なので、ｓ＞ｋｍを満たすｋは
存在しません。

よってｂ＞０です。さらに場合分けします。

（１‐１）aｃ≦０のとき

このときはＤ＞０となり、条件が満たされます。
a≧０として一般性を失いません。
このとき、ｓはa＝ｂ，ｃ＝０のとき最大値２ｂをとります。
よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

（１‐２）a，ｃ＞０のとき

Ｄ≧０となるのはaｃ≦ｂ＾２のときで、a，ｃ≦ｂの条件下においてｓは
（a，ｃ）＝（ｂ，ｂ／４），（ｂ／４，ｂ）のとき、最大値９／４ｂを
とります。
よってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

（１‐３）a，ｃ＜０のとき

a，ｃ→０とすることによりｓの上限はｂであることがわかります。
よってｋ＜１ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

よって、ｍ＝ｂの場合はｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。

（２）ｍ＝aの場合

さらに場合分けします。

（２‐１）a＝０のとき

この場合はＤ≧０ですが、ｓ≦０，ｍ＝０なのでｓ＞ｋｍとはなり得ません。

（２‐２）a＞０，ｃ≦０のとき

この場合はＤ≧０が満たされます。
ｓはｂ＝a，ｃ＝０のとき、最大値２aをとります。
よってｋ＜２ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

（２‐３）a＞０，ｃ＞０のとき

Ｄ≧０よりｂ≧２√（aｃ）ですが、ｂ≦aよりｃ≦a／４です。
よってｓは（ｂ，ｃ）＝（a，a／４）のとき、最大値９a／４をとります。
従ってｋ＜９／４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

（２‐４）a＜０のとき

ｍ＝aなのでｂ，ｃ≦aです。
D≧０となるのはｂ≦－２√（aｃ）のときです。
ｓは（ｂ，ｃ）＝（２a，a）のとき最大値４aをとります。
よって、ｋ＞４ならばｓ＞ｋｍとなり得ます。

従ってｍ＝aの場合はｋ＜９／４またはｋ＞４ならば
ｓ＞ｋｍとなり得ることがわかりました。

（３）ｍ＝ｃのとき

これは（２）の場合と同様なので、ｋ＜９／４またはｋ＞４のときに
ｓ＞ｋｍとなり得ます。

（１）～（３）により、求める必要十分条件は
「ｋ＜９／４またはｋ＞４」であることがわかりました。□

以上のようになりました。
場合分けが多いので合っているかどうかわかりませんが、
参考になれば幸いです。
ではでは☆

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51858 / ResNo.2)

　Re[2]: 必要十分条件

□投稿者/ マシュマロ一般人(2回)-(2022/06/05(Sun) 02:03:24)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

■No51856に返信(マシュマロさんの記事)
リンクミスしましたので再返信します。正しくはこちらのリンクです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51859 / ResNo.3)

　Re[2]: 必要十分条件

□投稿者/ マシュマロ一般人(3回)-(2022/06/05(Sun) 08:18:04)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

（１‐２）のときの最大値は９／４ｂとなっていますが、
正しくは９／４・ｂすなわち９ｂ／４です。
また、（１‐１）の直前の、「よってｂ＞０です」というのは
「条件を満たすｋが存在するのはｂ＞０のときです」という意味です。
他にもいいかげんなところはあるかもしれませんが、
脳内修正で読んでいただけると助かります（笑）
ではでは☆

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■51868 / ResNo.4)

　Re[3]: 必要十分条件

□投稿者/ age 一般人(2回)-(2022/06/07(Tue) 09:37:32)

ありがとうございました
とても参考になりました

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-4]

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■50930 / 親記事)

　導関数

□投稿者/ たー一般人(1回)-(2021/07/16(Fri) 18:11:37)

解き方を教えて頂きたいです。

関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス4件(ResNo.1-4 表示)]

■50931 / ResNo.1)

　Re[1]: 導関数

□投稿者/ たー一般人(2回)-(2021/07/16(Fri) 22:34:52)

■No50930に返信(たーさんの記事)
> 解き方を教えて頂きたいです。
>
> 関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。
>

やっぱりいいです。解決したんで。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50933 / ResNo.2)

　Re[2]: 導関数

□投稿者/ たー一般人(3回)-(2021/07/17(Sat) 00:32:50)

■No50931に返信(たーさんの記事)
> ■No50930に返信(たーさんの記事)
>>解き方を教えて頂きたいです。
>>
>>関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。
>>
>
> やっぱりいいです。解決したんで。

=========================================
　　　　　　　　↑　↑　↑

【未解決】です。まだ解決しておりません。
　
　関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。

　　　解き方と解答を教えてください。

=========================================

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50934 / ResNo.3)

　Re[3]: 導関数

□投稿者/ うんチングボンバーファイヤ一般人(1回)-(2021/07/17(Sat) 03:49:58)

■No50933に返信(たーさんの記事)
> ■No50931に返信(たーさんの記事)
>>■No50930に返信(たーさんの記事)
> >>解き方を教えて頂きたいです。
> >>
> >>関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。
> >>
>>
>>やっぱりいいです。解決したんで。
>
> =========================================
> 　　　　　　　　↑　↑　↑
>
> 【未解決】です。まだ解決しておりません。
> 　
> 　関数ｙ= － 2ｘ∧ 7 cosｘの導関数は何か。
>
> 　　　解き方と解答を教えてください。
>
> =========================================

cを変数とすれば－ 2ｘ∧ 7 osｘが導関数ですね。

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■51774 / ResNo.4)

　Re[4]: 導関数

□投稿者/ たー一般人(1回)-(2021/11/06(Sat) 09:27:17)

遅くなってすみません。ありがとうございました。

解決済み!

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