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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

極限(3) |

確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

確率(2) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

速度(2) |

極限(0) |

初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

質問(2) |

係数(4) |

kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■50254 / 親記事)

　数列の疑問

□投稿者/ JOC理事一般人(1回)-(2020/03/20(Fri) 09:32:16)

a[0]=1
b[0]=0
a[n+1]=(1/3)a[n]+(1/3)b[n]
b[n+1]=(2/3)a[n]+(1/3)b[n]

p[0]=0
q[0]=0
r[0]=1
p[n+1]=(1/3)p[n]+(1/3)q[n]
q[n+1]=(2/3)p[n]+(1/3)q[n]+(2/3)r[n]
r[n+1]=(1/3)q[n]+(1/3)r[n]

とします。

r[n]-(1/3)Σ[k=0,n-1]b[k]r[n-1-k]

の値は何になるのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50255 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の疑問

□投稿者/ らすかる一般人(6回)-(2020/03/21(Sat) 06:53:05)

上の漸化式を解くと
b[n]={((1+√2)/3)^n-((1-√2)/3)^n}/√2
下の漸化式を解くと
r[n]={1+2(1/3)^n+(-1/3)^n}/4
これを代入して計算して整理しまくったら
(与式)=(1/3)^nとなりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50259 / ResNo.2)

　Re[2]: 数列の疑問

□投稿者/ JOC理事一般人(2回)-(2020/03/21(Sat) 13:52:51)

有り難うございます。
とても助かりました。

解決済み!

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■記事リスト / レス記事表示 → [親記事-2]

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■50251 / 親記事)

　素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ 富豪閣一般人(1回)-(2020/03/17(Tue) 14:24:37)

　ここの過去スレにありましたが、AKITOの部屋のベルトラン・チェビシェフの定理の証明の過程で表れる

　2 以上の自然数 n に対し、P≦n を満たす素数 P の積 P[n] は 2^(2n-3) 以下である。･････(※)

という定理についての質問です。動画は
　　ttps://www.youtube.com/watch?v=AhbgNe-E2S0
です。

　　･--------------･--------------･-------------･---
　　1　　　　　　　　　√(2n)　　　　　　　　2n/3　　　　　　　　 n
　　　　　　　　　　　　　<------------->
　　　　　　　　　　ここの素数積の評価 P[0]

　※より
　　P ≦ 2n/3 を満たす素数 P の積 P[1] は　　P[1] ≦ P2^(4n/3-3)
　　P ≦ √(2n) を満たす素数 P の積 P[2] は　P[2] ≦ 2^(2√(2n)/3-3)
であるから
　　√(2n) < P ≦ 2n/3 を満たす素数 P の積 P[0] は
　　　　　　　　　　　　　　 2^(4n/3-3)
　　P[0] = P1/P2 ≦ ────────
　　　　　　　　　　　　　 2^(2√(2n)/3-3)
と評価するのは誤りである。

　この '誤り' についてなのですが、これがよくわかりにくいです。

　　P[0] ≦ P2^(4n/3-3)

ではあっても

　　P[0] ≦ 2^(2√(2n)/3-3)

とは言えず

　　P2 ≦ 2^(2√(2n)/3-3) ⇒ 1/P2 ≧ 1/( 2^(2√(2n)/3-3) )

ですから

　　P[0] ≦ 1/2^(2√(2n)/3-3)

ともいえない。しかし、ここから
　　　　　　　 2^(4n/3-3)
　　P[0] ≦ ────────
　　　　　　 2^(2√(2n)/3-3)
誤りだとするのがわかりにくいです。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス5件(ResNo.1-5 表示)]

■50252 / ResNo.1)

　Re[1]: 素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2020/03/17(Tue) 15:42:30)

P1≦A … (1)
P2≧B … (2)
であれば、(2)から
1/P2≦1/B … (3)
なので(1)と(3)の両辺を掛けて
P1/P2≦A/B … (4)
となりますが、(2)の不等号が逆なので
(4)は言えません。
例えば素数列2,3,5,7,11,…で
P≦10を満たす素数の積P1はP1≦210
P≦4を満たす素数の積P2はP2≦105
を満たしますが
4＜P≦10である素数の積P0はP0=P1/P2≦2
は成り立ちませんね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50253 / ResNo.2)

　Re[2]: 素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ 富豪閣一般人(2回)-(2020/03/17(Tue) 16:00:21)

　丁寧な回答まことにありがとうございます。大変よくわかりました。ちょっと自分が勘違いしているところがありました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50256 / ResNo.3)

　Re[2]: 素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ コルム一般人(2回)-(2020/03/21(Sat) 08:57:13)

らすかるさんあの、説明が少し間違っているように思うのですが。教えていただけないでしょうか？すみません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50257 / ResNo.4)

　Re[3]: 素数積の評価〜ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ スペイン風邪一般人(1回)-(2020/03/21(Sat) 12:30:09)

■No50256に返信(コルムさんの記事)
> らすかるさんあの、説明が少し間違っているように思うのですが。教えていただけないでしょうか？すみません。

どこが間違っているというのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50258 / ResNo.5)

　Re[3]: 素数積の評価～ベルトラン・チェビシェフの定理

□投稿者/ 都の西北倭背堕の隣罵化多大学一般人(3回)-(2020/03/21(Sat) 12:58:25)

> らすかるさんあの、説明が少し間違っているように思うのですが。
　あちこちで間抜けな質問をしているやつが、まあそんな偉そうなこと言えるもんだなwwwwwwwwwwwwwwwwww。

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■50248 / 親記事)

　eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(1回)-(2020/03/16(Mon) 11:56:12)

tを実数とするとき
lim[n→∞]n{e^t-(1+t/n)^n}
の求め方を教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50249 / ResNo.1)

　Re[1]: eの極限

□投稿者/ m 一般人(6回)-(2020/03/16(Mon) 20:10:53)

$2$e^x$ を $2$\exp (x)$ と書きます。

$2$x = 1/n$ と置き換えることで
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x}$
を求めればokです。

ロピタルを使えば機械的にできます。
分子分母をそれぞれ一回微分すれば
$2$ \frac{(e^t - \exp(1/x \log (1+tx)) )'}{x'} = - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} \times \exp (1/x \log (1+tx))$

ここで
$2$ \exp (1/x \log (1+tx)) = (1+tx)^{1/x} \to e^t$

だから $2$\times$ の前の極限を求めたい。分子分母に $2$t^2$ をかけて $2$y = tx$ と置き換えれば、
$2$ - \frac{tx/(1+tx) - \log (1+tx)}{x^2} = -t^2 \frac{(y/(1+y) - \log (1+y))}{y^2}$

ここで、もう一回ロピタル（=分子分母二階微分）すれば
$2$ \cdots = -t^2 \frac{-2/(1+y)^3 + 1/(1+y)^2}{2} \to \frac{t^2}{2}$

よって
$2$ \lim_{x \to 0} \frac{e^t - (1+tx)^{1/x}}{x} = \frac{t^2 e^t}{2}$

つまり
$2$ \lim_{n \to \infty} n(e^t - (1+t/n)^n) = \frac{t^2 e^t}{2}$

途中 $2$t^2$ を分母にかけるので $2$t=0$ は別途考える必要があります。
でも $2$t=0$ なら極限は $2$0$ になって、この場合も上の形になることがいえます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50250 / ResNo.2)

　Re[2]: eの極限

□投稿者/ ネイピア一般人(2回)-(2020/03/17(Tue) 13:54:01)

ありがとうございました。

解決済み!

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■50246 / 親記事)

　積分

□投稿者/ waka 一般人(1回)-(2020/03/11(Wed) 12:01:02)

(1)関数f(x)は、区間0≦x≦2πで第2次導関数f''(x)をもち、f''(x)>0を満たしているとする。区間0≦x≦πで関数F(x)を
　　　　 F(x)=f(x)-f(π-x)-f(π+x)+f(2π-x)
と定義するとき,区間0≦x≦π/2 でF(x)≧0であることを示せ。
(2)f(x)を(1)の関数とするとき
　　　　　∫[0→2π]f(x)cosx dx ≧0
を示せ。
(3)関数g(x)は,区間0≦x≦2πで導関数g'(x)をもちg'(x)<0を満たしている。このとき、∫[0→2π]g(x)sinx dx ≧0
を示せ。

【質問】
(2)では積分区間を0～π/2, π/2～π, π～3/2π, 3/2π～2πに分けたり、(3)では積分区間を0～π, π～2πに分けたりしています。その積分区間の分け方はどのような発想で考えられているのですか？

よろしくお願いします。
　　　　　

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■50240 / 親記事)

　四角形の極限

□投稿者/ ストラディ罵詈一般人(1回)-(2020/03/07(Sat) 21:39:15)

四角形ABCDは、
円に内接し、
∠ABCと∠ACDが鈍角で、
ABの長さはa、BCの長さはb、CDの長さはcである(a,b,cは定数)。
四角形ABCDの外接円の半径をR、DAの長さをdとしたとき、
lim[R→∞]R^2(a+b+c-d)を求めよ。

教えて下さい。よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50241 / ResNo.1)

　Re[1]: 四角形の極限

□投稿者/ m 一般人(5回)-(2020/03/08(Sun) 12:49:16)

2020/03/08(Sun) 12:51:41 編集(投稿者)

ゴリゴリやればできます。
もっといい方法がありそうだけど。

（記号" $2$\angle XYZ$ "は角XYZを意味します。なぜかうまく変換されない。）

$2$ \angle ADB = \alpha, \angle BAC = \beta, \angle CAD = \gamma$
とおく。
$2$\triangle ABD$ に注目して $2$ \angle DBA = \pi - (\alpha + \beta + \gamma)$ だから正弦定理より
$2$ 2R = a / \sin \alpha = b / \sin \beta = c / \sin \gamma = d / \sin (\alpha + \beta + \gamma)$

よって
$2$ d = 2R \sin (\alpha + \beta + \gamma) \\ = 2R (\sin \alpha \cos (\beta + \gamma) + \cos \alpha \sin (\beta + \gamma)) \\ = 2R ( \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma ) \\ = a \cos \beta \cos \gamma - abc / (2R)^2 + b \cos \alpha \cos \gamma + c \cos \alpha \cos \beta$

より
$2$ R^2(a+b+c-d) \\ = R^2 (a(1-\cos \beta \cos \gamma) + b(1-\cos \gamma \cos \alpha) + c(1-\cos \alpha \cos \beta) ) +abc/4 \\$

ここで
$2$ R^2 (1-\cos \beta \cos \gamma) = R^2 \frac{1 - \cos ^2 \beta \cos ^2 \gamma}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{1 - (1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}{1+\cos \beta \cos \gamma} \\ = R^2 \frac{\sin ^2 \beta + \sin ^2 \gamma -\sin ^2 \beta \sin ^2 \gamma}{1+\sqrt{(1-\sin ^2 \beta) (1-\sin ^2 \gamma)}} \\ = R^2 \frac{(b/2R)^2 + (c/2R)^2 - (b/2R)^2 (c/2R)^2 }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ = \frac{b^2/4 + c^2/4 - b^2 c^2/(16R^2) }{1+\sqrt{(1-(b/2R)^2) (1-(c/2R)^2)}} \\ \to \frac{b^2/4 + c^2/4 -0}{1+1} = \frac{b^2 + c^2}{8} \ (R \to \infty)$
が成り立つ。他の項も同様。

よって
$2$ R^2(a+b+c-d) \to \frac{1}{8}(a(b^2+c^2) + b(c^2+a^2) + c(a^2+b^2) +2abc) \\ = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}$

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■50245 / ResNo.2)

　Re[2]: 四角形の極限

□投稿者/ ストラディ罵詈一般人(2回)-(2020/03/10(Tue) 10:02:39)

有り難うございます。
勇気をもって加法定理を使えばよかったのですね・・・。

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