数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 99]

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tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

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確率の問題が分かりません　助けてください(1) |

確率(2) |

中学数学によるフェルマーの最終定理の証明(1) |

確率(1) |

1/{z^2(z-1)^2} z=0でローラン展開(1) |

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初等数学によるフェルマーの最終定理の証明(5) |

質問(2) |

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kkk(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。お願いします(0) |

大学数学難しすぎて分かりません。。(0) |

数列(2) |

確率(0) |

■50153 / 親記事)

　2変数関数の極値条件

□投稿者/ 画宇巣一般人(14回)-(2019/11/10(Sun) 09:48:13)

　以下の画像の説明で
　　h, k を 0 と異なる絶対値の（小さな）任意の数
とあります。これは
　　|h|, |k| が微小
であることを意味していると思いますが、h, k が微小ならば|h|, |k| が微小なのは当たり前なので、ことさら絶対値を考えなければならない理由がわかりません。

1200×849 => 250×176

1573346893.jpg/162KB

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■50154 / ResNo.1)

　Re[1]: 2変数関数の極値条件

□投稿者/ らすかる付き人(55回)-(2019/11/10(Sun) 10:13:15)

もし
h,kを0と異なる小さな任意の数
と書いたら
h=-1億とか-10^100とか
そういう値を考えることになってしまいます。
「0に近い」という条件を言うためには
「絶対値の小さい」というのが最も簡潔です。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50155 / ResNo.2)

　Re[2]: 2変数関数の極値条件

□投稿者/ 画宇巣一般人(15回)-(2019/11/10(Sun) 10:54:34)

> h,kを0と異なる小さな任意の数
> と書いたら
> h=-1億とか-10^100とか
> そういう値を考えることになってしまいます。
　ああ！　そうですね（笑）。いつもありがとうございます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■50152 / 親記事)

　素数生成法について

□投稿者/ yangmask 一般人(1回)-(2019/11/07(Thu) 15:45:37)

はじめまして。yangmask（ヤングマスク）と申します。

以下の定理について考えているのですが、正しいかどうか検証していただけないでしょうか。

＿＿＿＿＿

(定理1)

(1). フェルマー、ミラーテストを通過する
確率的素数N があるとする。

N = 素数k × 2^x + 1 の時、

(2). g^((N-1)/2) mod N ≡ -1 で、かつ、
(3). g^((N-1)/k) mod N ≠ 1

となるg が見つかれば、Nは素数である。

＿＿＿＿＿

(証明)

(1) を通過する整数の共通点周期は、
N-1 か、N-1の約数のみである。

まず、(2) のテストにより、N-1/(偶数の約数) の疑いが晴れる。

また、N-1 から偶数成分を除いた奇数k は素数なので、
(3)のテストのみで、N-1/(奇数の約数) の疑いも晴れる。

よって、上記すべてのテストに合格する整数N の共通周期は
N-1 のみとなることになるので、素数であると確定できる。

＿＿＿＿＿

よろしくお願いいたします。

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■50101 / 親記事)

　supreme 偽物

□投稿者/ supreme 偽物一般人(1回)-(2019/10/14(Mon) 10:09:03)
http://www.keevoo.com

定番柔らかい生地を使用したTシャツを初めてシュプリーム長袖コピーです。 hTTp://Www.keevoo.com/brand-731.html supreme 偽物伸縮性に富み、肌に吸い付くような美シルエットに仕上げました。ほど良く開いたネックラインや袖口を折り返したデザインなど、こなれ感漂うポイントに。トップスがゆったりとしているので、ボトムはコンパクト丈やタイトなシルエットのアイテムと合わせるのもおすすめです。 hTTp://Www.keevoo.com/ インナーとしての役割はもちろん、一枚で様になるアイテムです。 hTTp://copyle.com/kopipin-49-c0/ GIANNI VERSACE ブランドコピー

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■49020 / 親記事)

　整数解

□投稿者/ q 一般人(1回)-(2019/02/13(Wed) 21:52:58)

5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0 　　の　整数解を全て　是非求めて下さい;

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス7件(ResNo.3-7 表示)]

■50569 / ResNo.3)

　Re[3]: 整数解

□投稿者/ ポートニック一般人(2回)-(2020/12/12(Sat) 06:07:48)

先に結論を書いておきます
そのあとに幅ひろく通用する導出過程を記しておきます
長くなるのでここのページでは結果だけとします

α=√21, ε=(5+α)/2, s=19+9α, t=2+8α,
Kを有理数体にαを添加して得られる体とし,
有理整数環ZのKにおける整閉包をAとする.

KはQ上のベクトル空間として基底{1,α}を持つので
各w∈Kに対して,w=p+qαを満たすp,q∈Qが一意的に取れるが
f(w)=p, g(w)=q によりKからQへの関数f,gを定める.

x,yが問題の方程式を満たす整数であるとき,
以下の(1)-(4)のいずれかが成立し,また逆も成立する:

(1)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡0(mod 6)

(2)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x-v-9)/4
このとき,n≡4(mod 6)

(3)
ある整数nが存在して
u=f(sε^n), v=g(sε^n) とおくと
x = (23+u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)

(4)
ある整数nが存在して
u=f(tε^n), v=g(tε^n) とおくと
x = (23-u)/21
y = (-x+v-9)/4
このとき,n≡2(mod 6)

(3),(4)はn≡2(mod 6)の部分は同じだが
u,vの取り方とx,yの対応の仕方が異なる

念の為,小さい解をいくつか求めてみる

(1)のパターンから導かれる解:
n= 0 とすれば
(u,v)=(19,9) より (x,y)=(2,-5)
n= -6 とすれば
(u,v)=(-134549,29361) より (x,y)=(-6406,-5741)
n= 6 とすれば
(u,v)=(364411,79521) より (x,y)=(17354,-24221)

(2)のパターンから導かれる解:
n=4 とすれば
(u,v)=(10187,2223) より (x,y)=(-484,-437)
n= -2 とすれば
(u,v)=(-397,87) より (x,y)=(20,-29)

(3)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(691,151) より (x,y)=(34,27)

(4)のパターンから導かれる解:
n=2 とすれば
(u,v)=(443,97) より (x,y)=(-20,27)

勿論きりがないので具体的を挙げるのはこれで終わりとします
解の表現としては整数係数の漸化式で与える方法もありますが
すでに構成した表現から漸化式を得るの難しくないでしょう

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50570 / ResNo.4)

　Re[4]: 整数解

□投稿者/ ポートニック一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 06:11:20)

以下は導出過程です
記号はさっきの記事を継承します

まず必要条件から絞ることを考える
5x^2-2xy-16x-4y^2-18y+2=0
がある整数x,yに対して成立していたとする

-4y = x+9 ± √(21x^2-46x+89) ...(△)
となるように符号を選ぶことができる

21x^2-46x+89 = w^2 を満たす整数wが取れる
よって, (21x-23)^2 - 21w^2 = -1340 を得る
z = 21x-23 とおけば z^2 - 21w^2 = -1340 ...(☆)

ここで I=(z-wα)A とおく
(つまり,Iはz-wαで単生成するAのイデアル)

以下, N(.)はAのイデアルのノルム関数とする.

☆より N(I) = |1340| = 2^2*5*17 である

Kの判別式は 21 であるので
(21/5) = (21/67) = 1 より
5A,67A は以下のように異なる素イデアルの積に分解する:
5A = (5,α+1)(5,α-1)
67A = (67,α+17)(67,α-17)

また,2Aは既に素イデアルである

したがって N(I)= 2^2*5*17 とあわせて
Iは以下の4つのいずれかに一致している:

2A(5,α+1)(67,α+17)
2A(5,α+1)(67,α-17)
2A(5,α-1)(67,α+17)
2A(5,α-1)(67,α-17)

それぞれのイデアルの積を計算すると

(19 + 9α)A,(2 - 8α)A,(19 - 9α)A,(2 + 8α)A となる

(共役を考えれば4つのうち前半の2つだけで残りがわかる)

さて,Aの基本単数を計算することになるが
そのためには |p^2-21q^2|=4 を満たす最小の正整数解を求めればよい.
(p,q)=(5,1)が要件を満たすので冒頭で定めたεは実は基本単数である.
(一般には正則連分数展開から2次体の基本単数は高速に求まる)

I = (19 + 9α)A のときを考える
このとき, (z-wα)A = (19 + 9α)A であるので
z-wα = ±(19 + 9α)ε^n を満たす整数nが取れる
εの共役は 1/ε であるのだから
I = (19 - 9α)A のケースを考える必要はない

I = (2 + 8α)A のときを考える
このとき, (z-wα)A = (2 + 8α)A であるので
z-wα = ±(2 + 8α)ε^n を満たす整数nが取れる
εの共役は 1/ε であるのだから
I = (2 - 8α)A のケースを考える必要はない

まとめるとある整数nが存在して
z-wα = ±sε^n または z-wα = ±tε^n
が成立するように符号を選ぶことができる

z = 21x-23 だから z≡ -2 (mod αA) となる
よって, ε,s,t をmod αA で考えることで
nが偶数であることがいえる

より正確には,
z-wα = sε^n または z-wα = -tε^n
がある偶数nに対して成立するとなる,

あとは△の右辺が4の倍数である条件を考えるだけでよい.
そのためには ε^6≡1 (mod 4A) などに注意して
nをmod 6 で類別し s,t,ε^2,ε^4 などをmod 4Aで計算する.
ここからはひたすらルーチンなのでここで終わりとする
(絞れて得られた解が実際に解になることは難しくない)

以上の解法を4ステップでいうなら
まず判別式、次にイデアルの計算、そして基本単数、最後にmodulo計算
(実は今回のパターンではAは単項イデアル整域である
そのことはたとえばMinkowski's boundを用いれば易い
しかしながらAがPIDでなくても上記解法に不都合は生じない)

導出過程の概略ここまで

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■50571 / ResNo.5)

　Re[5]: 整数解

□投稿者/ 2666 一般人(3回)-(2020/12/12(Sat) 14:51:35)

　高校数学レベルでの解き方はできないのですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50572 / ResNo.6)

　Re[6]: 整数解

□投稿者/ ポートニック一般人(4回)-(2020/12/14(Mon) 03:13:51)

■No50571に返信(2666さんの記事)
> 　高校数学レベルでの解き方はできないのですか？
>

原理的には可能でしょう
ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
どういうアプローチがあるかというのを
行きあたりばったりではなく系統的に説明する場合は
高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます

今回は結果をみてもわかるとおり少し複雑なので
たとえば幾分シンプルなケース: x^2 -2y^2 = 1
これぐらいなら高校数学の問題と出題しても大丈夫だとおもわれます
(ただこれはこれで有名すぎるかもしれないが...)

私は本題の出題者ではないし本題が高校数学の問題として適切かどうかは保留とします

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50577 / ResNo.7)

　Re[7]: 整数解

□投稿者/ q 一般人(1回)-(2020/12/15(Tue) 15:34:32)

■No50572に返信(ポートニックさんの記事)
> ■No50571に返信(2666さんの記事)
>>　高校数学レベルでの解き方はできないのですか？
>>
>
> 原理的には可能でしょう
> ただしデタラメに2元2次の不定方程式を与えた時,
> どういうアプローチがあるかというのを
> 行きあたりばったりではなく系統的に説明する場合は
> 高校数学の範疇でとどまるのは些か不便だとおもわれます
>

C;5 x^2-2 x y-16 x-4 y^2-18 y+2=0
　　　　　は双曲線であり
　　　　　
　漸近線が
-(((105 x+(21 Sqrt[21]-21) y+53 Sqrt[21]-168) (-105 x+(21+21 Sqrt[21]) y+53 Sqrt[21]+168))/2205)=0
y=1/84 (-Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189),
y=1/84 (Sqrt[21] Sqrt[441 x^2-966 x+529]-21 x-189)
である　ことから
C∩Z^2 を　求める方法を　是非教えてください;

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■48884 / 親記事)

　統計学についての質問

□投稿者/ telly 一般人(1回)-(2018/11/07(Wed) 18:51:05)

この写真の問いが分かりません。

どのように解けばよいのでしょうか？

2293×3244 => 177×250

cbz6s-q4prx-001-min.jpg/76KB

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■48885 / ResNo.1)

　Re[1]: 統計学についての質問

□投稿者/ muturajcp 一般人(9回)-(2018/11/10(Sat) 11:06:27)

Pは区間(0,1]における1次元ルベーグ測度とする
確率変数Xに対する確率測度として考える
||X||∞=inf{x|P(|X|>x)=0}
とすると
(1)
ω∈(0,1]
X(ω)=ω
の時
||X||∞
=inf{x|P(|X|>x)=0}
=inf{x|P(|ω|>x)=0}
↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
=inf{x|P(x<ω≦1)=0}
=inf{x|P((x,1])=0}
↓P((x,1])=1-xだから
=inf{x|1-x=0}
=inf{x|x=1}
=inf{1}
=1

(2)
ω∈(0,1]
X(ω)=cosω
の時
||X||∞
=inf{x|P(|X|>x)=0}
=inf{x|P(|cosω|>x)=0}
↓ω∈(0,1]→0<ω≦1だから
=inf{x|P(0<ω<arccos(x),ω≦1)=0}
=inf{x|P((0,min(arccos(x),1)])=0}
↓P((0,min(arccos(x),1)])=min(arccos(x),1)だから
=inf{x|arccos(x)=0}
=inf{x|x=1}
=inf{1}
=1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■48886 / ResNo.2)

　Re[1]: 統計学についての質問

□投稿者/ muturajcp 一般人(10回)-(2018/11/10(Sat) 20:32:25)

x/(2π),y/(2π),z/(2π)が有理数の場合
0≦x/(2π)<1
0≦y/(2π)<1
0≦z/(2π)<1
だから
Q=(全有理数)
Z=(全整数)
N=(全自然数)
f(n)=cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)
lim_{n→∞}f(n)=α
{x/(2π),y/(2π),z/(2π)}⊂Q
とすると
x/(2π)=u/a
y/(2π)=v/b
z/(2π)=w/c
{a,b,c}⊂N
{u,v,w}⊂Z
となるa,b,c,u,v,wがある
ax=2uπ
by=2vπ
cz=2wπ
だから
n∈Nに対して
k(n)=abcn
とすると
lim_{n→∞}f(k(n))
=lim_{n→∞}cos(k(n)x)+cos(k(n)y)+cos(k(n)z)
=lim_{n→∞}cos(abcnx)+cos(abcny)+cos(abcnz)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ)+cos(2acnvπ)+cos(2abnwπ)
=3
{f(k(n))}は{f(n)}の部分列だから
部分列{f(k(n))}が3に収束するのだから
{f(n)}も3に収束しなければならないから
α=3
lim_{n→∞}cos(nx)+cos(ny)+cos(nz)=3

n∈Nに対して
m(n)=abcn+1
とすると
lim_{n→∞}f(m(n))
=lim_{n→∞}cos(m(n)x)+cos(m(n)y)+cos(m(n)z)
=lim_{n→∞}cos((abcn+1)x)+cos((abcn+1)y)+cos((abcn+1)z)
=lim_{n→∞}cos(2bcnuπ+x)+cos(2acnvπ+y)+cos(2abnwπ+z)
=cos(x)+cos(y)+cos(z)
↓{f(m(n))}は{f(n)}の部分列だから
↓{f(n))}が3に収束するのだから
↓{f(m(n))}も3に収束しなければならないから
=3
∴
cos(x)+cos(y)+cos(z)=3
↓cos(x)≦1,cos(y)≦1,cos(z)≦1だから
cos(x)=1,cos(y)=1,cos(z)=1
↓0≦x<2π,0≦y<2π,0≦z<2πだから
x=y=z=0

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■50360 / ResNo.3)

　Re[1]: 統計学についての質問

□投稿者/ 大学生一般人(1回)-(2020/06/04(Thu) 13:53:16)

確率密度関数の分布関数と確率が分からないです。

確率密度関数f(x)=x/2, 0<=x<=2において、
1、分布関数を求めよ
2、確率(0<=x<=1)を求めよ。
3、確率(x=1.5)を求めよ。

よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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