数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 13]

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■52005 / 親記事)

　積分

□投稿者/ 韓国一般人(1回)-(2022/10/26(Wed) 17:53:46)

$2$ {\displaystyle\int_1}^e \left( \frac{ \log x}{x} \right)^4 dx \, < \, \frac{1}{12e}$

の証明をご教示下さい

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■52025 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分

□投稿者/ X 一般人(9回)-(2022/10/29(Sat) 18:42:02)

2022/11/02(Wed) 18:30:10 編集(投稿者)

単に計算するだけなら、以下のように左辺の積分を
ガリガリ計算して評価します。

logx=t
と置くと
∫[1→e]{{(logx)/x}^4}dx=∫[0→1](t^4){e^(-3t)}dt
=[-(1/3)(t^4){e^(-3t)}][0→1]+(4/3)∫[0→1](t^3){e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)+(4/3)[-(1/3)(t^3)e^(-3t)][0→1]+(4/3)∫[0→1](t^2){e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)+(4/3)[-(1/3)(t^2)e^(-3t)][0→1]+(8/9)∫[0→1]t{e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)+(8/9)[-(1/3)te^(-3t)][0→1]+(8/27)∫[0→1]{e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)-8/(27e^3)+(8/27)[-(1/3)e^(-3t)][0→1]
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)-8/(27e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-11/(9e^3)-8/(27e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-41/(9e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-131/(81e^3)+8/81
=(8e^3-131)/(81e^3)

∴(左辺)-(右辺)=(8e^3-131)/(81e^3)-1/(12e)
=(32e^3-524-27e^2)/(324e^3) (A)

ここで
f(x)=32x^3-524-27x^2
と置くと
f'(x)=96x^2-54x=6x(16x-9)
∴9/16＜xにおいてf'(x)＞0
これと
9/16＜e＜2.8
により
f(e)＜f(2.8)=-484.8＜0
∴(A)=f(e)/(324e^3)＜f(2.8)/(324e^3)＜0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)

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■52030 / ResNo.2)

　Re[2]: 積分

□投稿者/ 韓国一般人(2回)-(2022/11/01(Tue) 10:33:46)

有難うございます
ただ、
$2$ \frac{8e^3-131}{81e^3}-\frac{1}{12e} \\ = \frac{32e^3-27e^2-524}{324e^3}$
でしょうか？
積分の値の求め方はとても参考になりました

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52032 / ResNo.3)

　Re[1]: 積分

□投稿者/ X 一般人(10回)-(2022/11/02(Wed) 18:32:58)

ごめんなさい。韓国さんの仰る通りです。
No.52025を修正しましたので再度ご覧下さい。
(但し、大小評価するためにf(2.8)の値を求めるという
煩雑な計算をしなければいけなくなってしまいました。)

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■51930 / 親記事)

　素数

□投稿者/ 熱が出てる一般人(1回)-(2022/07/24(Sun) 17:26:40)

p,qは2以上の正の整数でp^q+q^pが素数になるとき
pとqのどちらかは素数になるのでしょうか？

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51931 / ResNo.1)

　Re[1]: 素数

□投稿者/ マシュマロ一般人(23回)-(2022/07/25(Mon) 02:31:16)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは☆

素数判定サイトで調べてみたところ、９＾１６＋１６＾９は素数らしいです。
その結果が正しいなら、反例になりますね。

とはいえ素数判定は難しいので、判定結果が正しいかどうか
よくわかりませんが、とりあえず反例らしきものはあるようです。

ご参考になれば幸いです。
ではでは☆

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■51933 / ResNo.2)

　Re[2]: 素数

□投稿者/ らすかる一般人(8回)-(2022/07/25(Mon) 03:21:37)

2022/07/25(Mon) 03:56:45 編集(投稿者)

9^16+16^9=1853088908328577=17×109005229901681
なので素数ではありません。
しかし
15^32+32^15=43143988327398957279342419750374600193
33^38+38^33=5052785737795758503064406447721934417290878968063369478337
8^69+69^8=205688069665150755269371147819668813122841983204711281293004769
など、pとqが合成数でも素数になるものはありますので、元の命題は偽ですね。
上に書いた反例は、反例のうち小さい順で最初の3個で、続きは
↓こちらに書かれています（といってもあと2個しか出ていませんが）。
oeis.org/A173907

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■51934 / ResNo.3)

　Re[3]: 素数

□投稿者/ 熱が出てる一般人(2回)-(2022/07/25(Mon) 07:01:45)

とても参考になりました。
お二人ともありがとうございました。

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■51891 / 親記事)

　不等式

□投稿者/ 教えてください一般人(2回)-(2022/06/22(Wed) 21:36:55)

$2$\large 0<x<1$ において $2$ \Large{ \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x \sqrt{1+x}} > \frac{\pi}{4}}$ であることの証明を教えてください。

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51892 / ResNo.1)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ X 一般人(1回)-(2022/06/22(Wed) 22:52:10)

証明すべき不等式を(A)とすると
0＜x＜1 (B)
により
(A)⇔(4-πx)√(1+x)-4√(1-x)＞0
⇔{(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)}/{(4-πx)√(1+x)+4√(1-x)}＞0
⇔(1+x)(4-πx)^2-16(1-x)＞0
⇔(x+1){(πx)^2-8πx+16}+16x-16＞0
⇔(π^2)x^3-8πx^2+32x+(πx)^2-8πx＞0
⇔(π^2)x^2-8πx+32+(π^2)x-8π＞0
⇔(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π＞0 (A)'
ここで
f(x)=(π^2)x^2-(8π-π^2)x+32-8π
と置くと
f(x)=(π^2){x^2-(8/π-1)x}+32-8π
=(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+32-8π-(4-π/2)^2
=(π^2){x-(4/π-1/2)}^2+16-4π-(π^2)/4
で
0＜4/π-1/2＜1
ゆえ
f(x)≧16-4π-(π^2)/4＞16-3.2・4-(3.2^2)/4=16-12.8-2.56＞0
∴(A)'は成立するので(A)は成立します。

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■51893 / ResNo.2)

　Re[1]: 不等式

□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2022/06/22(Wed) 22:57:25)

x=sint（0＜t＜π/2）とすると
{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}
={(1+x)-√(1-x^2)}/{x(1+x)}
=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}
f(t)=(1+sint-cost)/{sint(1+sint)}とおくと
f'(t)=(√2)cos(t+π/4)(sint+1)(cost-1)/{(sint)^2(1+sint)^2}
となるのでf(t)は0＜t＜π/4で減少、π/4＜t＜π/2で増加
すなわち{√(1+x)-√(1-x)}/{x√(1+x)}は
0＜x＜1/√2で減少、1/√2＜x＜1で増加なので
x=1/√2のとき最小値2√2-2をとることがわかる。
49/25＜50/25=2
7/5＜√2
2√2-2＞4/5=0.8
π＜3.2からπ/4＜0.8
従って0＜x＜1で(与式)＞0.8＞π/4

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■51894 / ResNo.3)

　Re[2]: 不等式

□投稿者/ 教えてください一般人(3回)-(2022/06/24(Fri) 11:03:37)

どちらの方法も理解出来ました。
ありがとうございました。

解決済み!

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■51885 / 親記事)

　数列の極限

□投稿者/ わずか一般人(1回)-(2022/06/18(Sat) 01:09:40)

実数の数列{a[n]}が
na[n+1]=(n+1)a[n]-max{a[n],n^2} (n=1,2,3,‥)
を満たしている
lim[n→∞]a[n]/n^2を求めよ

この問題を教えて下さい

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51888 / ResNo.1)

　Re[1]: 数列の極限

□投稿者/ そう一般人(1回)-(2022/06/19(Sun) 06:13:33)

既にあなたがその問題を教えてくださっています。

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■51889 / ResNo.2)

　Re[1]: 数列の極限

□投稿者/ マシュマロ一般人(16回)-(2022/06/20(Mon) 09:13:07)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

この問題については、次のようなステップで解けそうですね。

①　十分大きなｎに対してa［ｎ］≦ｎ＾２となることを示す。

②　十分大きなｎに対してa［ｎ］＝ｋｎ－ｎ＾２（ｋ：定数）となることを示す。

③　よって極限値は－１になる。

①は、a［ｎ］＞ｎ＾となる間は条件式からa［ｎ＋１］＝a［ｎ］となることと、一旦ｎ＾２以下になったらその後もそうであることを帰納法で示せば導かれます。

②は、①を満たすｎにたいして条件式のｍaｘの項がｎ＾２になり、
a［ｎ＋１］＝（ｎ＋１）／ｎ・a［ｎ］－ｎとなることから計算されます。

各段階で引かれたｎが１段階ごとに（ｎ＋１）／ｎ倍されていくので、
ｎ → ｎ＋１ → ｎ＋２ → ……

となってｒ番目にはｒとなることに注目します。

最初に①の条件が成り立つのがｎ＝ｍのときとし、a［ｍ］＝ｋとすると
ｒ（≧ｍ）に対して

a［ｒ］＝－ｒ（ｒ－ｍ）＋ｋｒ／ｍ

となるので、求める極限値は－１になることがわかります。

ご参考になれば幸いです。
ではでは＾＾

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■51890 / ResNo.3)

　Re[2]: 数列の極限

□投稿者/ マシュマロ一般人(17回)-(2022/06/20(Mon) 09:17:23)
http:///www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

ちょっと修正ですが、②でｋの文字を使ったので、その後に出てくる
a［ｍ］＝ｋのところは別の文字、たとえばｐにしておいた方が
混乱しにくくてよかったですね。
なので、そのように訂正します。
ではでは＾＾

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■51864 / 親記事)

　積分の応用

□投稿者/ さかな一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 23:43:27)

以下の問題の解答を書いたのですが、なんか間違えている気がして…
正誤確認・間違えていたら正しい解答を示していただけると幸いです。よろしくお願いします。
(問題)
xyz空間内で
A(sint, sint, cost), B(sint, cost, sint), C(cost, sint, sint)をとる.
tが0からπ/4まで増加するとき、三角形ABCの周および内部が通過してできる立体の体積を求めよ.

542×640 => 211×250

569CB113-ABD8-4A92-9782-9D776D1652A4.jpeg/50KB

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▽[全レス3件(ResNo.1-3 表示)]

■51870 / ResNo.1)

　Re[1]: 積分の応用

□投稿者/ マシュマロ一般人(7回)-(2022/06/10(Fri) 08:20:50)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

こんにちは＾＾

はい、基本的にその考え方でいいと思います。
修正点としてはｔが動くにつれて三角形が移動する速さを
考慮すると正確な計算になると思います。

△ABCはその法線ベクトル（１，１，１）の方向に移動していきます。
単位法線ベクトルｖは（１／√３，１／√３，１／√３）となります。

ｔからｔ＋ｄｔに変化するとき。△ＡＢＣはｖ方向に
（２sinｔ＋cosｔ）／√３・ｄｔだけ移動するので、積分計算としては

Ｖ＝∫（cosｔ－sinｔ）＾２・（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
（積分区間は（０，π／４。以下でも同様です）

なので、計算すると

Ｖ＝∫（１－sinｔ・cosｔ）（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
　＝∫［２sinｔ＋cosｔ－２（sinｔ）＾２・cosｔ＋sinｔ・（cosｔ）＾２］／２・ｄｔ
　＝［－cosｔ＋sinｔ／２－１／３・（sinｔ）＾３－（cosｔ）＾３／６］
　＝７／６－（３√２）／８

となるようです。

例によって計算は合っているかどうかわかりませんが（汗
参考になれば幸いです。
ではでは☆

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■51871 / ResNo.2)

　Re[2]: 積分の応用

□投稿者/ マシュマロ一般人(8回)-(2022/06/10(Fri) 08:40:19)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

れによって間違っていました（笑）

「なので、計算すると」以降の部分は次のようになります。

以下、積分区間は［０，π／４］です。

Ｖ＝∫（１－２sinｔ・cosｔ）（２sinｔ＋cosｔ）／２・ｄｔ
　＝∫［２sinｔ＋cosｔ－４（sinｔ）＾２・cosｔ－２sinｔ・（cosｔ）＾２］／２・ｄｔ
　＝［－cosｔ＋（sinｔ）／２－２（sinｔ）＾３／３－（cosｔ）＾３／３］
　＝４／３－（√２）／２

です。
まだ合っているか怪しいですが（笑）

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■51872 / ResNo.3)

　Re[3]: 積分の応用

□投稿者/ マシュマロ一般人(9回)-(2022/06/10(Fri) 08:41:51)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A

訂正：れによって→例によって

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