数学ナビゲーター掲示板 [All Thread / Page: 18]

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極限(3) |

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する(2) |

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■52463 / 親記事)

　tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ スフィンクス一般人(1回)-(2024/02/06(Tue) 00:21:31)

tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開するときの係数 c_1 を求める。

c_1
= lim[z→π/2] (d/dz)^2 { (z - π/2) tan(z) }/(2！)
= lim[z→π/2] (d/dz) { tan(z) + (z - π/2)/(cos(z))^2 }/2
= lim[z→π/2] { 2/(cos(z))^2 + (z - π/2)(2 sin(z))/(cos(z))^3 }/2
= lim[z→π/2] { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) }/(cos(z))^3
= lim[z→π/2] { (d/dz) { (cos(z)) + (z - π/2)(sin(z)) } }/{ (d/dz) (cos(z))^3 }
= lim[z→π/2] { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
= lim[z→π/2] (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)
= (-1/3)(1/1)/{ -1 }
= 1/3.

　A)から(B)の変形をもう少し詳しく教えてください。また、(B)の分母
　　(cos(z) - 0)/(z - π/2)
がz→π/2で-1になるのもよくわかりません。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52464 / ResNo.1)

　Re[1]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ WIZ 一般人(21回)-(2024/02/06(Tue) 08:16:21)

計算の部分だけ
> { (z - π/2)(cos(z)) }/{ 3 (cos(z))^2 (- sin(z)) }　…… (A)
⇒ (-1/3)(1/sin(z)){(z-π/2)/cos(z)}
⇒ (-1/3)(1/sin(z))/{cos(z)/(z-π/2)}
> (-1/3)(1/sin(z))/{ (cos(z) - 0)/(z - π/2) }　　　 …… (B)

# あえて{(z-π/2)/cos(z)}を1/{(z-π/2)/cos(z)}変形する必要はないと思うけど
# 模範解答(?)がそうなっているのなら仕方ない。

cos(π/2) = 0だから、
lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
= lim[z→π/2](cos(z)-cos(π/2))/(z-π/2)
= cos'(π/2)
= -sin(π/2)
= -1

或いはz→π/2で、(cos(z)-0)→0かつ(z-π/2)→0だから、ロピタルの定理より
lim[z→π/2](cos(z)-0)/(z-π/2)
= lim[z→π/2](-sin(z))/1
= -1

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52465 / ResNo.2)

　Re[2]: tan(z) を z = π/2 中心にローラン展開する

□投稿者/ スフィンクス一般人(2回)-(2024/02/06(Tue) 16:11:31)

丁寧な回答まことにありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

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■52431 / 親記事)

　囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(1回)-(2024/01/01(Mon) 10:13:00)

60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
x=4
x=0
で囲まれた部分の面積と4はどちらが大きいのですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52433 / ResNo.1)

　Re[1]: 囲まれた面積

□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2024/01/01(Mon) 11:05:39)

4の方が大きいです。
60y(y-1)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
はy=1/2に関して対称であり、y≧1/2の部分の式はyについて解いて
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
よってこれとy=1/2とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が2より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
をx=2に関して対称に移動すると（xを4-xに置き換えて整理）
y={30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
なので
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積が4より小さいことを示せばよい。
y={30+√(900+60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
+{30+√(900-60x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))}/60
を整理すると
y=1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30 … (1)
(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≧0（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
なので
225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2≦225（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦15（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦450（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}≦900（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}≦30（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦1（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
1+√{450+30√{225-(x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4))^2}}/30≦2（等号はx=0,1,2,3,4のとき）
よって(1)はx=0,1,2,3,4のときy=2、0＜x＜4かつx≠1,2,3のとき1＜y＜2
なので、この曲線とy=1とx=0とx=4で囲まれた部分の面積は4より小さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52435 / ResNo.2)

　Re[2]: 囲まれた面積

□投稿者/ あけお一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 17:53:51)

ありがとうございます！！

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■52416 / 親記事)

　複素数

□投稿者/ はんなり一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 17:21:29)

α=e^(2πi/11)とし、複素数平面上の点A[k](α^k)(k=0,1,2,3,4,5)を考える。
直線A[0]A[k](k=1,2,3,4,5)と原点O(0)の距離をd[k]とするとき、
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52419 / ResNo.1)

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ X 一般人(4回)-(2023/12/29(Fri) 20:07:45)

2023/12/29(Fri) 20:23:31 編集(投稿者)

条件から
d[k]=|(1+α^k)/2|
∴例えばzの共役複素数を\zと表すことにすると
d[k]^2={(1+α^k)/2}{1+\(α^k)}/2
=(1/4){1+α^k+\(α^k)+|α^k|^2}
=(1/4){2+α^k+\(α^k)}
更にθ=2π/11と置くと
d[k]^2=(1/4)(2+2coskθ)
={cos(kθ/2)}^2
ここでk=1,2,3,4,5より
kθ/2＜π/2
∴d[k]=cos(kθ/2)
となるので
e^(iθ/2)=β
と置くと
β^11=-1
d[k]=(β^k+1/β^k)/2
よって
d[1]-d[2]+d[3]-d[4]+d[5]=Σ[k=1～5]{(β^k+1/β^k)/2}(-1)^(k-1)
=(1/2)Σ[k=1～5]{β(-β)^(k-1)+(1/β)(-1/β)^(k-1)}
=(1/2){β{1-(-β)^5}/(1+β)+(1/β){1-(-1/β)^5}/(1+1/β)}
=(1/2){β(1+β^5)/(1+β)+(1/β^5)(1+β^5)/(1+β)}
=(1/2)(1+β^5)(β+1/β^5)/(1+β)
=(1/2)(1+β^5)(1+β^6)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6+β^11)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(1+β^5+β^6-1)/{(1+β)β^5}
=(1/2)(β^5+β^6)/{(1+β)β^5}
=1/2

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

■52434 / ResNo.2)

　Re[2]: 複素数

□投稿者/ はんなり一般人(2回)-(2024/01/01(Mon) 14:13:55)

ありがとうございました！

解決済み!

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■52414 / 親記事)

　確率

□投稿者/ Z 一般人(1回)-(2023/12/28(Thu) 16:17:22)

2個のサイコロX,Yをn回投げる。
k回目に出たX,Yの目をx[k],y[k]とする。
x[1]y[1]+x[2]y[2]+…+x[n]y[n]
が3の倍数になる確率を求めよ。

教えて下さい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF]

▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52417 / ResNo.1)

　Re[1]: 確率

□投稿者/ WIZ 一般人(12回)-(2023/12/28(Thu) 21:22:46)

2023/12/28(Thu) 22:48:19 編集(投稿者)

a[k] = Σ[j=1,k]{x[j]y[j]}とおきます。

k回目でa[k]の値が、3の倍数になる確率をp[k]、
3で割った余りが1になる確率をq[k]、
3で割った余りが2になる確率をr[k]とします。

k = 1のとき、(x[1], y[1])の組み合わせは全部で6*6 = 36通りです。

(1, 1)(1, 4)(2, 2)(2, 5)(4, 1)(4, 4)(5, 2)(5, 5)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 1 (mod 3)なので、q[1] = 8/36 = 2/9です。

(1, 2)(1, 5)(2, 1)(2, 4)(4, 2)(4, 5)(5, 1)(5, 4)の8通りで
x[1]y[1] ≡ 2 (mod 3)なので、r[1] = 8/36 = 2/9です。

残りの20通りはx[1]またはy[1]が3の倍数なので、p[1] = 20/36 = 5/9です。

k > 1のとき、
a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 0 (mod 3)なので、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(1)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 1 (mod 3)なので、
q[k] = (2/9)p[k-1]+(5/9)q[k-1]+(2/9)r[k-1]・・・(2)
となります。

a[k-1] ≡ 0 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 2 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 1 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 1 (mod 3)または、
a[k-1] ≡ 2 (mod 3)かつx[k]y[k] ≡ 0 (mod 3)なら、
a[k] ≡ 2 (mod 3)なので、
r[k] = (2/9)p[k-1]+(2/9)q[k-1]+(5/9)r[k-1]・・・(3)
となります。

(2)-(3)より、
q[k]-r[k] = (3/9)q[k-1]-(3/9)r[k-1]
⇒ q[k]-r[k] = ((3/9)^(k-1))(q[1]-r[1]) = 0
⇒ q[k] = r[k]・・・(4)

(4)→(1)より、
p[k] = (5/9)p[k-1]+(4/9)q[k-1]
⇒ q[k-1] = (9/4)p[k]-(5/4)p[k-1]・・・(5)

(4)(5)→(2)より、
(9/4)p[k+1]-(5/4)p[k] = (2/9)p[k-1]+(7/9)((9/4)p[k]-(5/4)p[k-1])
⇒ (9/4)p[k+1]-(12/4)p[k]-(3/4)p[k-1] = 0
⇒ 3p[k+1]-p[k] = 3p[k]-p[k-1]・・・(6)

(1)より、
p[2] = (5/9)p[1]+(2/9)q[1]+(2/9)r[1] = 11/27・・・(7)

(6)(7)より、
3p[k+1]-p[k] = 3p[2]-p[1] = 2/3
⇒ 3p[k+1]-1 = p[k]-1/3
⇒ p[k]-1/3 = ((1/3)^(k-1))(p[1]-1/3) = 2/(3^(k+1))
⇒ p[k] = 1/3+2/(3^(k+1))

上記はk = 1でも成り立ちます。

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■52436 / ResNo.2)

　Re[2]: 確率

□投稿者/ Z 一般人(2回)-(2024/01/02(Tue) 15:24:17)

詳しくありがとうございます。

解決済み!

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■52406 / 親記事)

　低レベルな問題ですいません

□投稿者/ kei 一般人(4回)-(2023/12/09(Sat) 12:17:53)