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■52390 / 親記事)

　環でしょうか

□投稿者/ きんぴら5号一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:31:39)

自作問題です。iは虚数単位です。
整数a,bがa≡b(mod2)のときg(a,b)=(a+bi)/2と表せる数全体をGとする。
Gは環であるか?

加減算について閉じていることは分かるのですが
乗算について閉じているのか、いないのかが分かりません。

整数c,dがc≡d(mod2)のときg(a,b)*g(c,d)={(ac-bd)+(ad+bc)i}/4ですので
ac-bdとad+bcが共に偶数で、(ac-bd)/2と(ad+bc)/2がmod2で合同であれば良いのですが
g(a,b)*g(c,d)∈Gを示すことも否定することもできていません。

分かる方がいましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

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■52391 / ResNo.1)

　Re[1]: 環でしょうか

□投稿者/ らすかる一般人(1回)-(2023/12/01(Fri) 14:44:59)

質問の意味を誤解しているかも知れませんが、
{(1+i)/2}^2=(0+i)/2なので閉じていないのでは？

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■52392 / ResNo.2)

　Re[1]: 環でしょうか

□投稿者/ きんぴら5号一般人(2回)-(2023/12/01(Fri) 15:38:00)

らすかる様返信ありがとうございます。
質問した乗法に閉じているかの反例になっています。
つまり、Gは環ではなかったということですね。(残念)

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■52372 / 親記事)

　速度

□投稿者/ waka 一般人(4回)-(2023/11/03(Fri) 09:56:29)

よろしくお願いいたします。
問題
　表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合で増加している球がある。半径が10cmになった瞬間において、次のものを求めよ。
（１）半径の増加する速度

表面積の増加を始めてt秒後の球の半径をrcm, 表面積をScm^2とする。

dS/dt=4πと解答に書いてあるのですが、dS/dtがなぜ4πになるのかわかりません。基本的なことだとは思うのですがよろしくお願いします。

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▽[全レス2件(ResNo.1-2 表示)]

■52373 / ResNo.1)

　Re[1]: 速度

□投稿者/ WIZ 一般人(7回)-(2023/11/03(Fri) 12:50:57)

べき乗演算子^は四則演算より優先度が高いものとします。
「s」は「秒」の意味と解釈します。

「表面積Sが4πcm^2/sの一定の割合」を数式で表すと「dS/dt = 4π」となります。
dS/dtは時間tに対する表面積Sの変化率を表しているからです。
勿論、表面積Sの単位は「cm^2」で、時間tの単位は「「s(秒)」です。

以下余談

半径をr[cm]とすると、表面積はS = 4πr^2[cm^2]ですから、
4π = dS/dt = (dS/dr)(dr/dt) = ((d/dt)4πr^2)(dr/dt) = (8πr)(dr/dt)
⇒ dr/dt = 4π/(8πr) = 1/(2r)

よって、r = 10[cm]の時の半径の増加速度はdr/dt = 1/(2*10) = 1/20[cm/s]

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■52374 / ResNo.2)

　Re[2]: 速度

□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2023/11/03(Fri) 17:45:02)

ありがとうございました。

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■52368 / 親記事)

　i^iについて

□投稿者/ たぬき一般人(1回)-(2023/10/23(Mon) 22:19:11)

オイラーの公式によりi=e^(iπ/2)だから、
i^i=(e^(iπ/2))^i=e^((iπ/2)*i)=e^(-π/2)だと思います。

一方、指数法則よりa≠0に対して(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bなので、
a=e,c=0とすると、(e^b)^0=e^(b*0)=(e^0)^bですが、
(e^b)^0=1かつe^(b*0)=e^0=1なので(e^0)^b=1^b=1だと思います。
上記を使うと(i^i)^4=(i^4)^i=1^i=1となるので、
i^iは1の4乗根の±1か±iのどれかということになり、
e^(-π/2)に一致しません。

どこが間違っているのでしょうか?

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■52369 / ResNo.1)

　Re[1]: i^iについて

□投稿者/ らすかる一般人(25回)-(2023/10/23(Mon) 23:25:39)

(a^b)^c=a^(bc)=(a^c)^bという指数法則は
・aが0以外の実数かつbとcが整数
・a＞0かつbとcが実数
のときは成り立ちますが、それ以外の時は一般に成り立ちません。
（つまり虚数には使えません。）

i^i=e^(-π/2)も違います。
i^i=e^(ilogi)=e^{i(log|i|+iargi)}=e^{i(i(π/2+2nπ))}=e^(-π/2-2nπ)
のように多価になります。

1^i=1も違います。
1^i=e^(ilog1)=e^{i(log|1|+iarg1)}=e^{i(i(2nπ)}=e^(-2nπ)
のように、これも多価になります。

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■52370 / ResNo.2)

　Re[1]: i^iについて

□投稿者/ たぬき一般人(2回)-(2023/10/23(Mon) 23:45:55)

指数関数は周期2πiを持ち、対数関数は複素数では多価関数となるのを忘れていました。
回答ありがとうございました。

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■52352 / 親記事)

　円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(1回)-(2023/10/10(Tue) 14:39:51)

円に面積が4の四角形が内接しており、その四角形のどこか隣り合う二辺はどちらも長さが1である。
このような状況において考えうる円の直径の最小の値はいくらになるのか教えて下さい。

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■52353 / ResNo.1)

　Re[1]: 円に内接する四角形

□投稿者/ らすかる一般人(21回)-(2023/10/10(Tue) 15:25:14)

AB=BC=1,AC=2aとすると△ABCの外接円の半径は1/{2√(1-a^2)}となり
円に内接する四角形の面積Sの範囲は
a√(1-a^2)＜S≦a/√(1-a^2)
a/√(1-a^2)=4を解くとa^2=16/17なので
円の直径の最小値は1/√(1-a^2)にこの値を代入して√17

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■52354 / ResNo.2)

　Re[2]: 円に内接する四角形

□投稿者/ 平松一般人(2回)-(2023/10/10(Tue) 17:49:16)

なるほど…たしかにおっしゃる通りですね。
全然気づきませんでしたが、こう考えれば簡単ですね。
ありがとうございました。

解決済み!

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■52330 / 親記事)

　場合の数

□投稿者/ 山梨大学の問題です一般人(1回)-(2023/09/24(Sun) 10:48:58)

1から10の整数から重複せずに4つの整数を選ぶ
4つの整数の和が20以下になる選び方は何通りか

出来るだけ簡単で後から数え忘れの心配が襲ってこないような方法を教えて下さい

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■52331 / ResNo.1)

　Re[1]: 場合の数

□投稿者/ らすかる一般人(15回)-(2023/09/24(Sun) 15:50:44)

4つの整数を選ぶ方法は全部で10C4=210通り
a,b,c,dを選んで合計がnになったとき、
11-a,11-b,11-c,11-dを選べば合計は44-(a+b+c+d)=44-nとなるので
(合計が10である組の個数)=(合計が34である組の個数)
(合計が11である組の個数)=(合計が33である組の個数)
(合計が12である組の個数)=(合計が32である組の個数)
・・・
(合計が21である組の個数)=(合計が23である組の個数)
となる。従って合計が20以下になる組の個数は
{210-(合計が22である組の個数)}÷2-(合計が21である組の個数)
で求められるから、合計が21、22となる組の個数を調べればよい。
合計が22になる組は
(10,9,2,1)(10,8,3,1)(10,7,4,1)(10,7,3,2)(10,6,5,1)(10,6,4,2)(10,5,4,3)
(9,8,4,1)(9,8,3,2)(9,7,5,1)(9,7,4,2)(9,6,5,2)(9,6,4,3)
(8,7,6,1)(8,7,5,2)(8,7,4,3)(8,6,5,3)(7,6,5,4)の18通り
合計が21になる組は
(10,8,2,1)(10,7,3,1)(10,6,4,1)(10,6,3,2)(10,5,4,2)
(9,8,3,1)(9,7,4,1)(9,7,3,2)(9,6,5,1)(9,6,4,2)(9,5,4,3)
(8,7,5,1)(8,7,4,2)(8,6,5,2)(8,6,4,3)
(7,6,5,3)の16通り
∴(210-18)÷2-16=80通り

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■52332 / ResNo.2)

　Re[2]: 場合の数

□投稿者/ 山梨大学の問題です一般人(3回)-(2023/09/25(Mon) 17:08:21)

ありがとうございます
とても分かりやすくてびっくりしました

解決済み!

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