| [2]のみ解説します。
(1) x ≧ 0 だから 0 < 1/√(1+x^2) ≦ 1 です。 逆正弦関数は主値のみを考えて、0 < Arcsin(1/√(1+x^2)) ≦ π/2 とします。
f(x) = Arcsin(1/√(1+x^2)) ⇒ sin(f(x)) = 1/√(1+x^2) 0 < f(x) ≦ π/2 だから sin(f(x)) > 0 です。
⇒ 1/(sin(f(x))^2) = 1+x^2 ⇒ {1-sin(f(x))^2}/(sin(f(x))^2) = (cos(f(x))/sin(f(x)))^2 = 1/(tan(f(x))^2) = x^2
x ≧ 0 かつ 0 < f(x) ≦ π/2 だから tan(f(x)) > 0 なので、 ⇒ 1/tan(f(x)) = x
1/tan(f(x)) > 0 なので、上記式で x = 0 となることは不可能です。 また tan(f(x)) という項があるので、f(x) = π/2 となることも不可能です。 ・・・なので、以下では 0 < x かつ 0 < f(x) < π/2 として話しを進めます。 x = 0 つまり f(x) = π/2 となるケースは別途考察します。
ここで、0 < π/2-f(x) < π/2 とすれば、 tan(f(x)) = sin(f(x))/cos(f(x)) = cos(π/2-f(x))/sin(π/2-f(x)) = 1/tan(π/2-f(x)) なので、 ⇒ tan(π/2-f(x)) = x ⇒ π/2-f(x) = Arctan(x) ⇒ f(x) = π/2-Arctan(x)
よって、C = π/2 となります。 上記最後の式は f(x) = π/2 かつ x = 0 でも成立します。
(2) g(x) = x*Arctan(x)-log(1+x^2) とおきます。 g(0) = 0 だから x = 0 で x*Arctan(x) ≧ log(1+x^2) は成立します。 g(-x) = g(x) だから、結局 x > 0 のときに g(x) ≧ 0 が示せれば十分です。
y = Arctan(x) とおくと、0 < y = Arctan(x) < π/2 であり、 tan(y) = x かつ 1+x^2 = 1+tan(y)^2 = 1/(cos(y)^2) なので、 g(x) = g(tan(y)) = y*tan(y)+2log(cos(y)) (d/dy)g(x) = ((d/dx)g(x))(dx/dy) = tan(y)+y/(cos(y)^2)+2(-sin(y))/cos(y) = {y-sin(y)cos(y)}/(cos(y)^2)
0 < y < π/2 だから sin(y)cos(y) < sin(y) < y であり、 よって ((d/dx)g(x))(dx/dy) > 0 です。 また、dx/dy = 1/(cos(y)^2) > 0 より、(d/dx)g(x) > 0 と言えます。
以上から、g(0) = 0 かつ x > 0 で g'(x) > 0 より、x > 0 で g(x) > 0 です。
# 勘違い、計算間違いしていたらごめんなさい!
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