| 以下、例えばzの共役複素数を\zと書くことにします。
|z-(2+i)|=3 (A) が |z+b(c+i)|=a|z| (B) (a,b,cは実数、a>0) の形に同値変形できるとします。 (B)より |z+b(c+i)|^2=(a|z|)^2 {z+b(c+i)}・\{z+b(c+i)}=(a|z|)^2 {z+b(c+i)}・{\z+b(c-i)}=(a|z|)^2 |z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+c^2+1=(a|z|)^2 (1-a^2)|z|^2+b(c-i)z+b(c+i)\z+(c^2+1)b^2=0 (B)' 一方(A)から同様にして |z|^2-(2-i)z-(2+i)\z-4=0 (A)' (A)'(B)が等価なので、係数について b(c-i)/(1-a^2)=-2+i (C) b(c+i)/(1-a^2)=-2-i (D) {(c^2+1)b^2}/(1-a^2)=-4 (E) (C)(D)において複素数の相等の定義により bc/(1-a^2)=-2 (F) b/(1-a^2)=-1 (G) (F)÷(G)より c=2 これを(E)に代入して (b^2)/(1-a^2)=-4/5 (E)' (E)'÷(G)より b=4/5 これを(G)に代入して a=3/√5
以上から(A)は |z+(4/5)(2+i)|=(3/√5)|z| に同値変形できます。
|