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放物線の標準形 /星は昴 (21/04/05(Mon) 13:31) #50697
`└` Re[1]: 放物線の標準形 /らすかる (21/04/05(Mon) 17:29) #50698
`└` Re[2]: 放物線の標準形 /星は昴 (21/04/05(Mon) 18:57) #50699
`└` Re[3]: 放物線の標準形 /らすかる (21/04/05(Mon) 21:16) #50700
`└` Re[4]: 放物線の標準形 /星は昴 (21/04/05(Mon) 21:33) #50701

親記事　/ ▼[ 50698 ]

■50697 / 親階層)

　放物線の標準形

□投稿者/ 星は昴一般人(1回)-(2021/04/05(Mon) 13:31:03)

4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0

をソフトで描かせたら放物線のようです。これをy軸に対称なように標準化した式にするにはどうしたらいいですか。

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▲[ 50697 ] / ▼[ 50699 ]

■50698 / 1階層)

　Re[1]: 放物線の標準形

□投稿者/ らすかる一般人(27回)-(2021/04/05(Mon) 17:29:03)

軸がy=2xですから、
x=(2X+Y)/√5
y=(-X+2Y)/√5
を代入して回転して整理すると
Y=X^2/(2√5)
となります。

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▲[ 50698 ] / ▼[ 50700 ]

■50699 / 2階層)

　Re[2]: 放物線の標準形

□投稿者/ 星は昴一般人(3回)-(2021/04/05(Mon) 18:57:28)

　回答ありがとうございます。
　　4x^2-4xy+y^2-10x-20y=0　･････(1)
が、y=2xを軸とする放物線であることはどうやって見抜けばいいのでしょうか。

　教科書には離心率をeとするとき二次曲線の一般式
　　(1-e^2)x^2+y^2-2p(1+e^2)x+p^2(1-e^2)=0　･････(2)
というのがありますが、これでは(1)が放物線であるかどうか判断できないと思うのですが。

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▲[ 50699 ] / ▼[ 50701 ]

■50700 / 3階層)

　Re[3]: 放物線の標準形

□投稿者/ らすかる一般人(28回)-(2021/04/05(Mon) 21:16:32)

二次の項を因数分解すると(2x-y)^2となりますので、
X=(2x-y)/√5, Y=(x+2y)/√5のようにおいて回転すると
Xの項は2次、Yの項は1次となり、軸が2x-y=0に平行な
放物線であることがわかります。
下に書かれている「二次曲線の一般式」は、回転を含まない
特定の場合の一般式なので、この問題では使えないと思います。
また、回転してその「一般式」に合わせたいのであれば、軸がx軸に合うように
x=(X-2Y)/√5, y=(2X+Y)/√5で逆方向に回転する必要があります。

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▲[ 50700 ] / 返信無し

■50701 / 4階層)

　Re[4]: 放物線の標準形

□投稿者/ 星は昴一般人(4回)-(2021/04/05(Mon) 21:33:27)

ありがとうございました。なかなか難しいのですね。

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