 | 2021/05/27(Thu) 23:39:38 編集(投稿者)
a[n] = (n-1)(a[n-1]+a[n-2])
⇒ a[n]-n*a[n-1] = (n-1)a[n-2]-a[n-1]
よって、n ≧ 3 のとき、b[n] = a[n]-n*a[n-1] おけば
b[n] = -b[n-1]
となる。
a[3] = (3-1)(a[2]+a[1]) = 2(1+0) = 2
b[3] = a[3]-3*a[2] = 2-3*1 = -1
なので、
b[n] = a[n]-n*a[n-1] = (-1)^n
尚、
a[2]-2*a[1] = 1-2*0 = 1 = (-1)^2
なので、
a[n]-n*a[n-1] = (-1)^n
は n = 2 でも成立する。
a[n] = (n-1)(a[n-1]+a[n-2])
⇒ a[n]+a[n-1]+a[n-2] ≡ 0 (mod n)
⇒ a[n]+(a[n-1]-(n-1)a[n-2])+n*a[n-2] ≡ 0 (mod n)
⇒ a[n]+(-1)^(n-1) ≡ 0 (mod n)
⇒ a[n] ≡ -(-1)^(n-1) ≡ (-1)^n (mod n)
よって、n ≧ 2 において、n が素数であるかないかに関わらず、
n が偶数なら、a[n] を n で割った余りは 1
n が奇数なら、a[n] を n で割った余りは n-1
となります。
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