数学ナビゲーター掲示板 [One Message View / Re[1]: 高校の範囲での証明]

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　高校の範囲での証明

□投稿者/ m 一般人(2回)-(2019/12/03(Tue) 12:18:14)

2019/12/03(Tue) 12:23:08 編集(投稿者)
2019/12/03(Tue) 12:22:03 編集(投稿者)

(★ $2$1+x \leq e^x \ (x \geq 0)$ は証明略。)

$2$f_n (x) =$ (左辺) - (右辺)
とおき $2$f_n(x) \leq 0$ を帰納法で示す。

$2$n-1$ で成り立つと仮定し $2$n$ で成り立つことを示す。

$2$f_n(0)=0$ だから $2$f_n' (x) \leq 0 \ (x \geq 0)$ を示せばok
$2$f_n' (x) = \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} (1+\frac{x}{n(n+1)}) e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
★より $2$1+\frac{x}{n(n+1)} \leq e^{x/(n(n+1))}$ だから
$2$f_n' (x) \leq \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} e^{x/(n(n+1))} e^{x/(n+1)} + \sum_{k=0}^{n-2} \frac{x^k}{k!}-e^x$
$2$\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n}$ より
(上の右辺) $2$\leq f_{n-1} (x)$
帰納法の仮定により $2$f_n'(x) \leq 0$

だいぶ省略してるので補完してください。

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