□投稿者/ らすかる 付き人(54回)-(2021/06/03(Thu) 19:11:53)
 | ごめんなさい、勝手に整数と思い込んでいました。
整数でない場合は公比をu/v（uとvは互いに素でv≧2）とすると
p+1はv^2の倍数でなければならないのでv≦10
v=10のときp=99となり不適
v=9のときp=80となり不適
v=8のときp=63となり不適
v=7のときp=48,97となり不適（∵97より大きい100未満の素数はない）
v=6のときp=35,71となりp=35は不適
p=71のとき(p+1)/v=12なのでu=7（∵u=8はvと互いに素でない）
このときq=(71+1)×(7/6)-1=83, r=(83+1)×(7/6)-1=97となり
(p,q,r)=(71,83,97)は解
v=5のときp=24,49,74,99となり不適
v=4のときp=15,31,47,63,79,95となりこのうち素数は31,47,79
p=31のとき(p+1)/v=8なのでu=5,7,9,11（∵偶数はvと互いに素でない）
u=5,7,9,11のとき順に
q=39,55,71,87となりこのうち素数は71
しかしr=(71+1)×(9/4)-1＞100となり不適
p=47のとき(p+1)/v=12なのでu=5,7（∵6,8はvと互いに素でない）
u=5,7のとき順にq=59,83となり両方とも素数
q=59のとき(q+1)×(5/4)-1=74となり不適
q=83のとき(q+1)×(7/4)-1＞100となり不適
p=79のとき(p+1)/v=20なのでu=5
しかしq=(79+1)×(5/4)-1=99なので不適
v=3のときp=8,17,26,35,44,53,62,71,80,89,98となりこのうち素数は17,53,71,89
p=17のとき(p+1)/v=6なのでu=4,5,7,8,10,11,13,14,16
このとき順にq=23,29,41,47,59,65,77,83,95となりこのうち素数は23,29,41,47,59,83
q=23のときr=(q+1)×(4/3)-1=31で適
q=29のときr=(q+1)×(5/3)-1=49で不適
q=41のときr=(q+1)×(7/3)-1=97で適
q≧47のときr≧100となり不適
よって(p,q,r)=(17,23,31),(17,41,97)が解
v=2のときpは8n-1型の素数なのでp=7,23,31,47,71,79
（8n-5型の素数のときr=(8n-5+1){(奇数)/2}^2-1が偶数になるので不適）
p=7のとき(p+1)/v=4,√{100/(p+1)}＜4なのでuは3以上7以下の奇数
u=3,5,7のとき順にq=11,19,27となり素数は11,19
q=11のときr=(q+1)×(3/2)-1=17で適
q=19のときr=(q+1)×(5/2)-1=49で不適
よって(p,q,r)=(7,11,17)が解
p=23のとき(p+1)/v=12,√{100/(p+1)}＜5/2なのでu=3
このときq=35となり不適
p=31のとき同様にu=3
このとき(p,q,r)=(31,47,71)となり適
p≧47のときr≧47×(3/2)^2＞100となり不適
従って公比が整数でないときの解は
(p,q,r)=(71,83,97),(17,23,31),(17,41,97),(7,11,17),(31,47,71)
なので、整数のときの解と合わせて昇順に並べると
(p,q,r)=(2,5,11),(2,11,47),(5,11,23),(5,17,53),(7,11,17),(7,23,71),
(11,23,47),(17,23,31),(17,41,97),(31,47,71),(71,83,97)
# 見落としなどあるかも知れませんので、内容はご確認下さい。
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